Пространство элементарных исходов

Пространство элементарных исходов

Пространством элементарных исходов (событий) Ω наз. мн-во содержащая все возможные исходы данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

Элементарный исход (событие)

Элементы мн-ва Ω наз. элементарными событиями (исходами) и обозначается   w.  Ω={w₁,w₂,…,w_n,…}.

Событие

 События наз. произвольное подмножество ПЭИ Ω, т.е любой набор элементарных исходов.

Достоверное событие

Событие состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие которое обязательно произойдет наз. достоверным и совпадает с Ω.

Невозможное событие

Событие не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. которая никогда не происходит в данном опыте наз. невозможным и обозначается «∅».

Пересечение (произведение) 2 событий

Пересечение (произведение) 2 событий А и В наз. события С происходящее тогда и только тогда когда одновременно происходят оба события А и В, т.е. события состоящие из тех и только тех элементарных исходов которое принадлежит и А и В, и обозначаются C=A∩B или C=AB.

Несовместные события

События А и В наз. несовместными, если их пересечения яв-ся невозможным событием А∩В=∅, в противном случае событие наз. совместным.

8. Объединение (сумма) 2 событий

Объединением (суммой) 2 событий А и В наз. событие С происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В, обозначается   С=АUВ или С=А+В («+» - если известно, что А и В - несовместны).

Попарно несовместные события

События А₁,А₂,...,А_n наз. попарно несовместными, если А_i A_j=∅ , i≠j.

Противоположное событие

Противоположное к событию А наз. событие Ā которые происходят тогда и только тогда, когда А не происходит.

Равносильные события

Если А  и В⊂А, то событие А и В наз. равносильными или равными (В=А).

Полная группа событий

События А₁,А₂,...,А_n образуют полную группу событий если:

а) События попарно не совместны,

б) Сумма этих событий есть достоверное событие (А₁+А₂+…+А_n= Ω).

13. Законы Моргана на примере 2 событий

 

Правило суммы.

Если объект А может быть выбран m способами, а объект В может быть выбран другими n способами, то выбор одного элемента A или B из объединённой совокупности может быть осуществлен из m+n способами.

15. Правило произведения.

Если объект А может быть выбран m способами и после каждого такого выбора объект В может быть извлечён n способами, то выбор пары объекта А и В, в указанном порядке может быть осуществлен m*n способами.

Выборка

Результат выбора m элементов из группы содержащей n элементов будем наз. выборкой из m по n элементов.

Выборка с возвращением

Если при выборке элемент после выбора снова возвращается в группу, то выборку наз. выборкой с возвращением.

Сочетание

Выборку в которой не учитывают порядок выбора элементов наз. сочетанием.

19. Размещение Выборку в которой учитывают порядок выбора элементов наз. размещением.

Перестановка

Размещение без повторений из n элементов по n элементов наз. перестановкой из n элементов.

Свойства вероятности

1) Р( )=0    2) Р(Ω)=1      

3) 0 Р(А)≤1

4) Р(А В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)  

5) Р(А+В)=Р(А)+Р(В), А,В-несовместны

6) Р(А)=1-Р(А)

Условная вероятность

Условной вероятностью события А при условии событие В с Р(В)>0 наз. величина P(A/B)=P(AB)/P(B), P(B/A)=P(AB)/P(A).  

Попарная независимость

События А₁,..,А_n наз. попарно независимы, если для  i,j=1,n,  i j P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)

Теорема формула Байесса.

Пусть Н₁,..,Н_n полная группа событий и А⊂ _I   причём

Р(А)>0

Р(H_i/A)=(P(H_i)P(A/H_i))/P(A)= (P(H_i)P(A/H_i))/ _i)P(A/H_i))

Функция Ф(х) и ее свойства

1)значение можно определить по таблицам приложения

2)нечетная Ф(-х)=-Ф(х)

3)монотонно возрастает при х _, Ф(х)    0,5

57.Предельная теорема Пуассона или следствие.

При большом числе испытаний n справедливо формула

P_n(m)≈λ^m/m!e^-λ, где λ=np

58.При каких условие каждая из предельных теорем дает хорошее приближен и е. при λ≤10

59.Значение больших чисел в форме бернулли,

какова бы ни было постоянная ε>0

Р(|m/n-p|<ε) _{n -беск} 1

Определение СВ

действительная функция  определенная на (  наз F – измеримой или СВ, если {w: (w)

Определение дискретной СВ (ДСВ) или СВ, имеющей дискретное распределение

СВ ζ имеет дискретные распределения и наз. дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значении с определенными вероятностями, т.е существует конечный или счетный набор чисел {x₁,…} такой , что  1)p_i=p(ζ=x_i) 0             2) _i=1

Свойство нормировки для ДСВ

_i=1

Таблица распределения ДСВ

Таблицей распределения ДСВ ζ называется таблицу вида

ζ	Х1	Х2	……
р	Р1	Р2	……

Где х_{1 <} x₂<….<x_n<….

Свойства м.о.

1⁰. М_ζ=c=const                          

2⁰.M(c)=c, c=const

3⁰.M(cζ)=c^/ М_ζ                

4⁰. Если a b, то a  М_ζ b          

5⁰. М_ζ  M(ζ)

6⁰. 0, М_ζ=0, ζ=0 с вероятностью 1

7⁰. g(x) борелевская функция, то h=g(ζ) есть СВ и М g(ζ)=                8⁰. P(A)=M(I(A)), где I(A)=              

9⁰. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂

10⁰. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

101. M ( cζ )=cM_ζ                                  

102. M ( ζ + c )= M_ζ+c

103. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂             

104. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

105. М g(ζ)= (м.о. η, ζ – ДСВ или НСВ)

Неравенство Маркова для м.о

Пусть ζ-неотрицательное СВ P(ζ ) M_ζ/ или P(ζ< ) 1- M_ζ/  

Формулы дисперсии ДСВ и НСВ

ДСВ: Д_ζ= _i²p_i- ( _ip_i)²             

НСВ: Д_ζ= ²p_ζ(x)dx- ( p_ζ(x)dx)²

114. Дисперсия суммы Д(ζ+η)=Д_ζ+Д_η , если СВ ζ и η – независимы

115. D ( cζ )=c²D_ζ                    

116. D ( ζ + c )=D_ζ

117. Ковариация СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина cov(ζ₁ ,ζ₂)=M[(ζ₁-M_ζ1)(ζ₂-M_ζ2)]

Свойства

1⁰. cov(ζ₁ ,ζ₁)=D_ζ1                         2⁰. cov(cζ₁ ,ζ₂)=c cov(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₂ ,ζ₁ )     4⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. | cov(ζ₁ ,ζ₂)| _{ζ1 ζ2}

118. Ковариация характеризует зависимость двух СВ cov (ζ₁ ,ζ₂)=0, то СВ ζ₁ ,ζ₂ могут быть независимы и зависимы cov (ζ₁ ,ζ₂) 0, то СВ зависимы

119. Коэффициентом корреляции двух СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина

r(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₁ ,ζ₂)/ _{ζ1 ζ2} , _{ζ1 ζ2}

Свойства

1⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=1           2⁰. r(сζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₂ ,ζ₁) 4⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= 1  ζ₂=а+b ζ₁     6⁰. | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

120. Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости

121. Какие значение принимает r | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

122. | r |=1, то между ζ₁ и ζ₂ строгая линейная функциональная зависимость

123. r (ζ₁ ,ζ₂)>0 , т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ прямая при увеличению значение ζ₁ значения ζ₂ также увеличваются

r (ζ₁ ,ζ₂)<0, т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ обратная

124. | r | близкое к 1 , т.е по значению r можно судить 0 степени линейной зависимости

125. | r | близкое к 0 , т.е 0 слабой линейной зависимости либо её отсутствие

126. Начальный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М_ζк, ₁=М_ζ

127.Центральный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М(ζ-М_ζ)^к

128.Ковариационной матрицей наз матрица состоящих из элементов k_ij=cov(ζ _i , ζ _j ), I , j =1, n .  K=

Свойство    

1⁰.К-симетрично относительно главной диагонали

2⁰.По главной диагонали стоят дисперсии, k_ii=D_{ζ i ,} i=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ _i независимы, то все элементы матрицы к кроме главной диагонали =0                     К=

129.Корреляционной матрицей наз матрица состоящих из коэф.кореляци

r_ij=r(ζ _i , ζ _j ), I,j=1,n

Свойство

1⁰.все элементы главной матрицы =1, r_ii=1, i=1,n

2⁰.матрица симметрична относительно главной диагонали r_ij= r_ji, , I,j=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы,то все элементы матрицы =0, кроме элементов главной диагонали которые =1.

130. Модой М₀(ζ) СВ ζ наз наиболее вероятное значение СВ ζ

131. Медианой М_е(ζ) СВ ζ наз такое ее значение,для которого

Р(ζ< М_е(ζ))=P(ζ >М_е(ζ))=1/2

132. Аксимметрия наз величина А_s= ₃/ ζ³

134. Целочисленная СВ наз ДСВ ζ принимающая только целое не отрицательное значение.

135. Производящей функцией целочисленной СВ наз функция

_ζ(s)=M_sζ= ⁿp_n ,            M_|s|ζ<

136. Сво-во производящей функции:

1⁰.при |s| 1, | _ζ(s)| 1, причём _ζ(1)=1

2⁰.Производящая функция является законом распределения

3⁰.если ζ₁,.., ζ _i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций.      _{ζ1.. ζn} (s)= _ζ1(s)… _ζn(s)

4⁰.M_ζ=  ‘_ζ(1)  D_ζ= ⁴_ζ(1)+ ’_ζ(1)-  ‘_ζ(1))² ,если они существует

Свойства ХФ

1⁰. f_ζ(0)=1;   

2⁰. |f_ζ(t)| 1, t R   

3⁰. f_aζ+b(t)=a^itb f_ζ(at)

4⁰. | f_ζ(t+ )- f_ζ(t) | ХФ равномерно непрерывна на всей числовой оси

5⁰. Если СВ ζ₁,.., ζ _i независимы, то _{ζ1+.. +ζn} (t)=П_i=1ⁿf_ζ : ( t )

6⁰. если для к  конечный момент к-го порядка, то  непре-рывная производная к порядка от Х.Ф и _к=М_ζк=(1/i^k)*f_ζk(0)

7⁰. если М_|ζ|k<  , то в окрестности точки t=0 справедливо следующие разложения f_ζ ( t )= (( it ) ^e / e !) M _ζ e +0(| t ₀ | ^k )  

8⁰. f_ζ ( t )= f_ζ (- t )

Пространство элементарных исходов

Пространством элементарных исходов (событий) Ω наз. мн-во содержащая все возможные исходы данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

12345Следующая ⇒

Поделиться: