Как найти вероятность попадания двумерной СВ в область D

P((ζ₁, ζ₂) D)=  _ζ1ζ2(x₁,x₂) dx₁dx₂

Аналогично теоремы умножения

p_ζ(x/y)=(p_ζη(x,y))/p_η(y) p_η(y/x)=(p_ζη(x,y))/p_ζ(x)

95. Критерий независимости НСВ. Случайные величины ζ_1,… ,ζ₂ независимы т.и.т.т,к во всех точках непрерывности функций Р_{ζ1,… ,ζ2}(х₁,…,х_n) P_ζ1(x₁), P_ζ2(x₂),.., P_ζn(x_n), имеет право равенство Р_{ζ1,… ,ζ2}(х₁,…,х_n) = P_ζ1(x₁) …. P_ζn(x_n)

96. Критерий независимости ДСВ. Пусть СВ ζ_i i=1,n –ДСВ, тогда для независимости ζ_i  необх и достаточно,чтобы P(ζ₁=k₁,..,ζ_n=k_n)=P(ζ₁=k₁)..p(ζ_n=k_n)

97. n = m =1, f -монотонная функция. Необходимо найти плотность распределения вероятности m-мерной СВ η= (η₁,..,η_n) p_η(y)=p_ζ(g(y))*|g^,(y))|

Формулы для расчёта мат.ожидания. одномерной ДСВ и НСВ

М_ζ= dF_ζ(x)= p_ζ(x)dx

99. Характеризуем м.о. СВ среднее значения СВ или среднее звешаное по вероятности

Свойства м.о.

1⁰. М_ζ=c=const                          

2⁰.M(c)=c, c=const

3⁰.M(cζ)=c^/ М_ζ                

4⁰. Если a b, то a  М_ζ b          

5⁰. М_ζ  M(ζ)

6⁰. 0, М_ζ=0, ζ=0 с вероятностью 1

7⁰. g(x) борелевская функция, то h=g(ζ) есть СВ и М g(ζ)=                8⁰. P(A)=M(I(A)), где I(A)=              

9⁰. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂

10⁰. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

101. M ( cζ )=cM_ζ                                  

102. M ( ζ + c )= M_ζ+c

103. М(ζ₁+ζ₂)= Мζ₁+ Мζ₂             

104. М(ζ₁ ζ₂)= М_ζ1 М_ζ2, если ζ и η независимы

105. М g(ζ)= (м.о. η, ζ – ДСВ или НСВ)

Формулы расчёта м.о. в двумерном случае

M_ζ1= ₁p_ζ1ζ2(x_1,x₂)dx₁dx₂                 

M_ζ2= ₂p_ζ1ζ2(x_1,x₂)dx₁dx₂

Неравенство Маркова для м.о

Пусть ζ-неотрицательное СВ P(ζ ) M_ζ/ или P(ζ< ) 1- M_ζ/  

Неравенство Чебышева для м.о

P(|ζ- M_ζ| ) D_ζ/ , где D_ζ=М(ζ- M_ζ)²

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца для м.о

Пусть ζ и η таковы, что М < , М <  , тогда М_|ζη|< , (М_|ζη|)²  М  М ,

   М >0, М >0

110. ОПр.Дисперсией СВ ζ наз число D_ζ=М(ζ- M_ζ)²

111. Характеризуем дисперсию СВ момент инерции распределения единичной массы на прямую

112. Упрощенная формула для дисперсии D_ζ=М - M_ζ²

Формулы дисперсии ДСВ и НСВ

ДСВ: Д_ζ= _i²p_i- ( _ip_i)²             

НСВ: Д_ζ= ²p_ζ(x)dx- ( p_ζ(x)dx)²

114. Дисперсия суммы Д(ζ+η)=Д_ζ+Д_η , если СВ ζ и η – независимы

115. D ( cζ )=c²D_ζ                    

116. D ( ζ + c )=D_ζ

117. Ковариация СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина cov(ζ₁ ,ζ₂)=M[(ζ₁-M_ζ1)(ζ₂-M_ζ2)]

Свойства

1⁰. cov(ζ₁ ,ζ₁)=D_ζ1                         2⁰. cov(cζ₁ ,ζ₂)=c cov(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₂ ,ζ₁ )     4⁰. cov(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. | cov(ζ₁ ,ζ₂)| _{ζ1 ζ2}

118. Ковариация характеризует зависимость двух СВ cov (ζ₁ ,ζ₂)=0, то СВ ζ₁ ,ζ₂ могут быть независимы и зависимы cov (ζ₁ ,ζ₂) 0, то СВ зависимы

119. Коэффициентом корреляции двух СВ ζ₁ ,ζ₂ наз величина

r(ζ₁ ,ζ₂)= cov(ζ₁ ,ζ₂)/ _{ζ1 ζ2} , _{ζ1 ζ2}

Свойства

1⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=1           2⁰. r(сζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₁ ,ζ₂)

3⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= r(ζ₂ ,ζ₁) 4⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)=0, если ζ₁ ,ζ₂ –независимы

5⁰. r(ζ₁ ,ζ₂)= 1  ζ₂=а+b ζ₁     6⁰. | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

120. Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости

121. Какие значение принимает r | r(ζ₁ ,ζ₂)| 1

122. | r |=1, то между ζ₁ и ζ₂ строгая линейная функциональная зависимость

123. r (ζ₁ ,ζ₂)>0 , т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ прямая при увеличению значение ζ₁ значения ζ₂ также увеличваются

r (ζ₁ ,ζ₂)<0, т.е зависимость между ζ₁ и ζ₂ обратная

124. | r | близкое к 1 , т.е по значению r можно судить 0 степени линейной зависимости

125. | r | близкое к 0 , т.е 0 слабой линейной зависимости либо её отсутствие

126. Начальный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М_ζк, ₁=М_ζ

127.Центральный момент СВ ζ порядка к наз величина _к=М(ζ-М_ζ)^к

128.Ковариационной матрицей наз матрица состоящих из элементов k_ij=cov(ζ _i , ζ _j ), I , j =1, n .  K=

Свойство    

1⁰.К-симетрично относительно главной диагонали

2⁰.По главной диагонали стоят дисперсии, k_ii=D_{ζ i ,} i=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ _i независимы, то все элементы матрицы к кроме главной диагонали =0                     К=

129.Корреляционной матрицей наз матрица состоящих из коэф.кореляци

r_ij=r(ζ _i , ζ _j ), I,j=1,n

Свойство

1⁰.все элементы главной матрицы =1, r_ii=1, i=1,n

2⁰.матрица симметрична относительно главной диагонали r_ij= r_ji, , I,j=1,n

3⁰.если СВ ζ₁,.., ζ_i независимы,то все элементы матрицы =0, кроме элементов главной диагонали которые =1.

130. Модой М₀(ζ) СВ ζ наз наиболее вероятное значение СВ ζ

131. Медианой М_е(ζ) СВ ζ наз такое ее значение,для которого

Р(ζ< М_е(ζ))=P(ζ >М_е(ζ))=1/2

132. Аксимметрия наз величина А_s= ₃/ ζ³

134. Целочисленная СВ наз ДСВ ζ принимающая только целое не отрицательное значение.

135. Производящей функцией целочисленной СВ наз функция

_ζ(s)=M_sζ= ⁿp_n ,            M_|s|ζ<

136. Сво-во производящей функции:

1⁰.при |s| 1, | _ζ(s)| 1, причём _ζ(1)=1

2⁰.Производящая функция является законом распределения

3⁰.если ζ₁,.., ζ _i независимые целочисленные СВ, то хар-кая функция их суммы равна произведению хар-ких функций.      _{ζ1.. ζn} (s)= _ζ1(s)… _ζn(s)

4⁰.M_ζ=  ‘_ζ(1)  D_ζ= ⁴_ζ(1)+ ’_ζ(1)-  ‘_ζ(1))² ,если они существует

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: