Комплексные числа. Элементы общей алгебры

Литература [2], §§ 5.3, 5.4; [6], часть 1, §§ 1, 2, 19 гл.1.

1. Найти сумму и произведение комплексных чисел:
а) ;

б) .

Указание. Складываются и умножаются комплексные числа по правилу сложения и умножения многочленов с учетом того, что .

Ответ: а) ;
       б) .

2. Найти  и , если: а) ; б) .

Указание. Сначала надо разделить комплексные числа. Для этого следует умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю. Для дроби  это .

Ответ: а) ; б) .

3. Изобразить на комплексной плоскости числа  Найти модули и главные значения аргументов. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Указание.

Числа - это точки комплексной плоскости. Модуль числа  находится по формуле , а главное значение аргумента – это наименьший по величине угол между осью OX и радиус-вектором, соединяющим начало координат и точку . .

 

Ответ:

, .

4. Вычислить: а) ; б) .

Указание. Записать число  в тригонометрической форме  и воспользоваться формулой

Ответ: а) ; б) .

 

 

Линейная алгебра

Литература [1], §§ 1-4, 15; [6], часть 1, §§ 3, 10-14 гл.1, §§ 1-6 гл.7.

5. Вычислить определители: а) ;

б) .

Указание. Определитель второго порядка вычисляется по формуле .

Ответ: а) .

6. Решить: а) неравенство >0;

б) уравнение =0.

Указание. Определитель третьего порядка  раскрывается по формуле

.

Ответ: а) ; б) .

7. Вычислить определители путем приведения их к треугольному виду:

а) ; б) .

Указание. Определитель называется треугольным, если его элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Такой определитель равен произведению элементов, расположенных в главной диагонали. Для приведения определителя к треугольному виду сначала получают нули в первом столбце. Для этого, например, при вычислении , первую строку складываем с третьей, результат записываем на месте третьей строки; первую строку, умноженную на (-3), складываем с четвертой, результат записываем на месте четвертой строки.

Получаем . Далее, вторую строку, умноженную на (-4) и на 8, складываем соответственно с третьей и четвертой строками, и результаты записываем на месте третьей и четвертой строк. Получаем . Теперь осталось только третью строку, умноженную на , сложить с четвертой и результат записать на месте четвертой строки. Получим определитель треугольного вида.

Ответ: а) ; б) .

8. Решить систему методом Гаусса .

Указание. Выписать расширенную матрицу системы, то есть матрицу системы вместе со столбцом свободных членов системы. Привести расширенную матрицу системы к треугольному виду (см. предыдущий пример). После проведения преобразований, получим . Преобразованной матрице соответствует система уравнений . Из этой системы последовательно найти .

Ответ: .

9. Найти значения параметра а, при которых однородная система уравнений имеет нетривиальное (ненулевое) решение:

а) ; б) .

Указание. Однородная система имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю.

Ответ: а) ; б) ;

10. Даны матрицы  и . Найти:

 а) А+В и АВ; б) В+А и ВА.

Указание. Складывать можно только матрицы одинаковой размерности при этом, если С=А+В, то . Произведение АВ=С имеет смысл, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, при этом .

Ответ: а) А+В не имеет смысла, ;

           б)  В+А не имеет смысла, .

11. Вычислить: а) , где ;

б) , где .

Указание. В выражении  под единицей понимается единичная матрица , поэтому .

Ответ: а) ; б) .

12. Линейный оператор  задан соотношением:

а) ;

б) , где . Найти матрицу А оператора  в базисе .

Указание. Чтобы найти матрицу линейного оператора, необходимо найти результат его действия на базисные векторы . Координаты полученных векторов составят первый, второй и третий столбцы искомой матрицы. В нашем случае .

Ответ: а) ; б) .

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: