Элементы функционального анализа

Литература [1], §§ 16,17,20; [2], §§ 1.2;1.3;1.11;3.1;8.2;8.11; [3], §4.8; [6], часть 1, §§ 15-18 гл.1, §1 гл.2.

27. Выполнить указанные операции над множествами ,  и  (подмножествами множества N натуральных чисел), если , , :

а) , ; б) , .

Указание. Объединение (сумма)  множеств , и  - это множество, элементами которого являются элементы множеств или , или , или и  и .

 Например, для предлагаемой задачи .

Дополнение  (не )- это множество, элементами которого не являются элементы множества . Для предложенной задачи .

Пересечение (произведение)  множеств  и - это множество, элементами которого являются общие элементы множеств  и . Например, .

Прямое произведение -это множество упорядоченных пар .

 Например, .

Ответ: а) , ;

            б) , .

28. Найти угол между гиперплоскостями  и  пространства .

Указание. Нормали гиперплоскостей  и . Косинус угла между ними .

Ответ: .

29. Убедиться в том, что матрицы , , ,  образуют базис в линейном пространстве матриц размерности  и найти координаты матриц:

а) ; б)  в этом базисе.

Указание. Убедиться, что равенство  выполняется только при  и из равенства  найти координаты .

Ответ: а) ; б) .

30. В треугольнике, сторонами которого являются многочлены  и , , найти длины сторон и косинусы углов между сторонами, если скалярное произведение векторов  и  определяется формулой:

 а) ; б) .

Указание. Третья сторона треугольника . Углы между сторонами треугольника находятся по формуле , где , -длины сторон треугольника.

Ответ:

а)

б)

Введение в математический анализ

Литература [2], §§ 2.1-2.5, 3.1-3.5, 3.8, 3.9; [6], часть 1, §§ 2-8 гл.2.

31. Пользуясь только определением предела последовательности, доказать, что последовательность  имеет своим пределом число а. Найти номер  такой, что . а) ; б) .

Указание. По определению предела последовательности, для любого  и всех , начиная с некоторого  должно выполняться неравенство . Подставив в это неравенство выражение  и значения а и  и решив неравенство, найдем .

Ответ: а) ; б) .

32. Найти область определения D функции: а) ;

б) .

Указание. Использовать ограничения на область определения основных элементарных функций:  существует, если ,  существует, если ,  существует, если .

Ответ: а) ;  б) .

33. Найти предел функции: а) ; б) .

Указание. Воспользоваться первым и вторым замечательными пределами:  и .

Ответ: а) 0; б) .

34. Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:

а) ; б) .

Указание. Точки разрыва элементарных функций соответствуют значениям аргумента, при которых функция не определена. Для определения характера точки разрыва необходимо найти односторонние пределы функции.

Ответ: а) Точка разрыва . . Точка разрыва второго рода.

б) - точка устранимого разрыва, -точка разрыва второго рода.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: