|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Функции комплексной переменной ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Литература [3], §§ 6.1-6.3, 6.6, 6.10; [6], часть 2, §§ 1, 2, 6, 7 гл. 1. 52. Найти производную функции, проверить, является ли функция Указание. Представить функцию в виде Ответ: а) Производная существует только в одной точке б) Производная существует всюду, исключая точку 53. В окрестности точки Указание. Определить особые точки функции и, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получить требуемые разложения. Если ряд не содержит отрицательных степеней Ответ: а) Задания для контрольных работ
Контрольная работа 1
Задание 1 Даны комплексные числа 1) Выполнить действия: 2) Найти действительные (вещественные) неизвестные х и у из уравнения 3) Решить уравнение 4) Разложить на линейные множители многочлен
Задание 2 Найти неизвестную матрицу Х из заданного уравнения. Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4 Вариант №5 Вариант №6 Вариант №7 Вариант №8 Вариант №9 Вариант №10
Задание 3 Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей А.
Задание 4 Найти решение СЛАУ: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы системы; 3) методом Гаусса.
Задание 5 Даны векторы 1) Вариант №1 Вариант №2 Вариант №3 Вариант №4 Вариант №5 Вариант №6 Вариант №7 Вариант №8 Вариант №9 Вариант №10
Задание 6 Даны вершины пирамиды ABCD и точка 1) длину ребра АВ; 2) косинус угла между ребрами АВ и С D; 3) площадь грани АВС; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой, на которой лежит ребро АВ; 6) уравнение медианы 7) проекцию вершины А на основание пирамиды ВС D; 8) высоту 9) записать систему линейных неравенств, определяющих пирамиду; 10) выяснить, принадлежит ли точка
Контрольная работа 2
Задание 1 Определить, какую линию задает уравнение у = f ( x ) (или
Задание 2 Даны векторы 1) убедиться, что векторы 2) найти разложение вектора 3) найти угол между векторами
Задание 3 Найти пределы функций в точке
Задание 4 Методом бисекции (половинного деления) найти один из корней уравнения
Задание 5 Найти производные
Задание 6 Найти
Контрольная работа 3 Задание 1 Найти неопределённые и определённые интегралы.
Задание 2 Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
Задание 3 Исследовать на сходимость числовые ряды
Задание 4 Разложить в ряд Фурье функцию
Задание 5 В точке 1) градиент функции 2) производную функции
Задание 6 Для функции 1) уравнение касательной плоскости; 2) полный дифференциал первого порядка; 3) полный дифференциал второго порядка.
Задание 7 Найти
Контрольная работа 4 Задание 1 В таблице приведены пять экспериментальных значений искомой функции
Задание 2 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле. Изобразить область интегрирования.
Задание 3 С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью
Задание 4 Найти общее решение дифференциального уравнения.
Задание 5 Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
Задание 6 Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: Требуется: 1) найти общее решение системы; 2) записать систему и её решение в матричном виде.
IV .Решение нулевого варианта контрольных работ Контрольная работа 1
Задание 1 Даны комплексные числа 1. Вычислить 2. Найти действительные (вещественные) неизвестные x и y из уравнения 3. Решить уравнение 4. Разложить на линейные множители многочлен
Решение 1. Так как для Тогда Умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, осуществляется по тем же правилам, что и умножение многочленов, учитывая при этом, что Следовательно, Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, удобнее выполнять следующим образом
Следовательно,
При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) действительные и мнимые части этих чисел. Следовательно, 2. Так как Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части: Два комплексных выражения равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть Решая систему, находим 3. Так как По известной формуле
Следовательно, 4. Для разложения многочлена Решим это биквадратное уравнение:
a) Следовательно,
Задание 2 Найти неизвестную матрицу Х из уравнения
Решение Обозначим Тогда уравнение примет вид Решим это матричное уравнение: Найдём Перемножив матрицы
Задание 3 Найти собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей
Решение Собственные значения найдём из уравнения Решим это уравнение: Для
Для Задание 4 Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Найти её решение: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы системы; 3) методом Гаусса.
Решение 1)По правилу Крамера Следовательно, 2) Матрица решений системы Найдём
Таким образом,
Следовательно, 3) Запишем расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования ( алгоритм метода Гаусса ), приведём её к ступенчатому виду
Преобразованной матрице соответствует система Из третьего уравнения системы Из второго уравнения системы Из первого уравнения системы
Таким образом,
Задание 5 Даны векторы Найти: 1)
Решение Если 1) Для решаемой задачи
2) Аналогично 3) Для решаемой задачи
4) Аналогично
5) Для решаемой задачи
Задание 6 Даны вершины пирамиды 1) длину ребра 2) косинус угла между рёбрами 3) площадь грани ABC; 4) объём пирамиды; 5) уравнение прямой, на которой лежит ребро 6) уравнение медианы 7) проекцию вершины 8) высоту 9) записать систему линейных неравенств, определяющих пирамиду; 10) выяснить, принадлежит ли точка
Решение 1)Длину
2) Угол Введём в рассмотрение векторы
3) Площадь грани AB С (площадь треугольника АВС) Введём в рассмотрение векторы
Найдём
Далее 4) Объём пирамиды
Найдём
5) Прямая, на которой лежит ребро АВ, проходит через точки Для решаемой задачи 6) Уравнение медианы
Уравнение 7) Проекция вершины А на основание пирамиды BCD – это точка пересечения плоскости BCD и прямой, проходящей через точку А перпендикулярно этой плоскости. Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Для решаемой задачи
Вектор
Таким образом, проекция точки А на плоскость BCD – точка 8) Длина высоты
9) Найдём уравнение граней пирамиды ABC, ACD, ABD и BCD, как уравнение плоскостей, проходящих через три заданные точки
BCD: найдено раньше Все внутренние точки пирамиды находятся по ту сторону от плоскостей ABC, ACD, ABD и BCD что и вершины D, B, C, и А соответственно. Для вершин D, B, C и А выполняются условия
Следовательно, система линейных неравенств, определяющих пирамиду, будет 10) Проверим, удовлетворяют ли координаты точки Второе неравенство не выполняется, следовательно, точка
Контрольная работа 2 Задание 1 Определить, какую линию задаёт уравнение
Решение Приведём уравнение линии к каноническому виду:
Делаем рисунок.
Задание 2 В стандартном базисе пространстве R4 даны векторы 1) Убедиться, что векторы 2) найти разложение вектора 3) найти угол между векторами
Решение 1) Векторы Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки
Следовательно, заданные векторы 2) Найдем координаты вектора Этому векторному уравнению соответствует система
Решив систему, находим Следовательно, разложение вектора 3) Если скалярное произведение в
Следовательно,
Задание 3 1) Найти пределы функции б) 2) Найти
Решение 1. а) б) в) г)
2)
Задание 4 Методом бисекции (половинного деления) найти один из корней уравнения
Решение Рассмотрим функцию
Длина интервала Задание 5 Найти производные 1)
Решение Используя таблицу производных, свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу нахождения производной функции, заданной параметрически, находим: 1)
2)
4)
Задание 6 Найти
Решение Своего наибольшего ( Найдём критические точки заданной функции: В заданный отрезок Найдём: Сравнивая вычисленные значения функции, делаем вывод: своего наименьшего значения функция достигает в точке
Контрольная работа 3
Задание 1 Найти неопределённые и определённые интегралы:
Решение 1)
2)
3)
4)
Задание 2 Исследовать на сходимость несобственный интеграл
Решение Воспользуемся предельным признаком сравнения: если Для решаемой задачи Так как
Задание 3 Исследовать на сходимость числовые ряды 1)
Решение 1)
2) Так как 3) так как 4) то исследуемый ряд расходится.
Задание 4 Разложить в ряд Фурье функцию Решение Если функция где Заданная функция определена на интервале где Вычислим коэффициенты ряда Фурье для заданной функции.
Таким образом
Задание 5 Для функции 1) градиент функции 2) производную функции
Решение 1) Градиент функции
Для решаемой задачи
Для точки
2) Производная функции Найдём Так как
Для точки
Задание 6 Для функции 1) уравнение касательной плоскости; 2) полный дифференциал первого порядка; 3) полный дифференциал второго порядка.
Решение Если функция z задана в явной форме, то есть Для решаемой задачи Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид: 2) Полный дифференциал первого порядка для функции Для заданной функции Для точки 3) Полный дифференциал второго порядка для функции Найдём. Следовательно, Для точки
Задание 7 Найти
Решение Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области. Изобразим заданную область
Найдём стационарные точки функции из системы Для заданной функции система примет вид Решая систему, находим координаты стационарной точки Исследуем функцию на границе области На ОА Найдём стационарные точки функции На ОВ На АВ
Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:
Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции
Контрольная работа 4
Задание 1 В таблице приведены пять экспериментальных значений искомой функции
Решение Параметры а и b, для которых осуществляется наилучшее приближение (по методу наименьших квадратов), определяются из системы уравнений
Для получения системы, соответствующей заданным значениям, можно рекомендовать оформлять вычисления в виде таблицы
Составляем систему уравнений Решая систему, находим Таким образом, Делаем чертёж
Задание 2 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
Решение Пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от уравнений границ области интегрирования. Следовательно, область интегрирования ограничена линиями
При изменённом порядке интегрирования область интегрирования необходимо разбить на две части, так как при любом фиксированном Следовательно,
Задание 3 С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью
Решение Если Изобразим данное тело и его проекцию на плоскости
Задание 4 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Применим для его решения метод подстановки: Заданное уравнение примет вид: Функцию V найдём из уравнения Решим это уравнение Функцию U найдём из уравнения Решим это уравнение: Общее решение заданного уравнения
Задание 5 Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд решения
Решение Будем искать решение уравнения в виде ряда
По условию Продифференцировав обе части данного дифференциального уравнения, получим Продолжим этот процесс
Следовательно
Задание 6 Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Требуется: 1) найти общее решение системы; 2) записать систему и её решение в матричном виде.
Решение 1) Найдём общее решение системы, сведя её к дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого: продифференцируем первое уравнение системы: Составим систему Составим характеристическое уравнение и найдём его корни: Следовательно, Так как Таким образом, 2) Если ввести в рассмотрение матрицы Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1980. 2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.:Наука, 1998. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.:Наука, 1981. 4. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н. Ш., М.: ЮНИТИ, 1998. 5. Калесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. М.:ИНФРА-М, 1997. 6. Сухинов А.И., Фирсов И.П., Цирулик В.Г. Конспект лекций по курсу высшей математики, часть 1,2, Таганрог, 2004. 7. Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам, часть 1, Таганрог, 2003. 8. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах, части 1-3,Высшая школа, М.,1971.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 199; Нарушение авторского права страницы
аналитической: а) 
; б) 
.
и проверить выполнение условий Коши-Римана: 
, 
. Если условия Коши-Римана выполняются в некоторой точке (области), то производную можно найти, например, по формуле 
. Если производная существует не только в точке, но и окрестности этой точки, то функция является аналитической в этой точке.
и 
; функция не является аналитической ни в одной точке;
и 
; функция аналитическая всюду, исключая точку 
; б) 
.
, то это ряд Тейлора и он сходится в круге, если же ряд содержит отрицательные степени 
; б) 
.
и многочлен 
.
.
. 
. 
. Найти:
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
. Найти:
в грани АВС;
пирамиды;
пирамиде АВС D.
). Сделать рисунок.
в стандартном базисе пространства 
. Требуется:
образуют базис пространства 
по этому базису;
.
, используя свойства пределов.
c точностью до 0,01.
заданных функций.
и 
на отрезке 
.
, используя достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, необходимый признак и свойства сходящихся рядов.
.
найти:
и его модуль;
по направлению вектора 
.
в точке 
записать:
и 
в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать рисунок области D.
. Аппроксимировать эту функцию линейной функцией 
методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.
. Изобразить данное тело и его проекцию на плоскость 
.
, удовлетворяющего начальному условию 
.
, здесь 
.
, 
и многочлен 
.
.
.
.
.
, то 
.
.
.
.
= 
.
.
, то уравнение примет вид 
.
.
.
.
, то уравнение примет вид 
.
.
.
на линейные множители необходимо найти корни многочлена, то есть решить уравнение 
.
.
; б) 
.
.
, 
, 
.
.
.
и 
: 
, 
.
, 
и 
, найдём неизвестную матрицу Х.
.
, найдём 
и 
– координаты первого собственного вектора из системы уравнений
, 
. Очевидно, что 
. Полагая 
, получим первый собственный вектор 
, соответствующий первому собственному значению 
, поступаем аналогично 
, 
, 
Полагая 
, получим второй собственный вектор 
соответствующий второму собственному значению 
.
, 
, 
, где 
- определитель системы, 
, 
, 
- вспомогательные определители. Вычислив определители, например, по правилу треугольников (правилу Саррюса), получим 
.
.
равна 
, где 
-матрица системы, 
-матрица свободных членов системы.
, где 
(вычислен ранее), 
-алгебраические дополнения к элементам 
матрицы 
равны:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
и
.
.
.
.
.
.
.
и 
.
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
, то:
.
.
.
.
.
.
.
и точка 
. Найти:
;
и 
;
;
в грани 
;
на основание пирамиды 
;
пирамиды;
пирамиде ABCD.
найдём по формуле расстояния между двумя точками
между рёбрами 
будет равен углу между векторами 
и 
.
и 
и найдём их координаты:
.
.
.
и 
и найдём их координаты:
, 
.
и 
.
.
, 
, 
.
= 
.
.
и 
. Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки 
и 
: 
.
или 
.
в грани АВС - это уравнение прямой, проходящей через точку 
и точку 
, являющуюся серединой отрезка ВС. Координаты точки М найдём как координаты середины отрезка ВС:
; 
; 
.
: 
или 
.
: 
.
, 
, 
и, следовательно, уравнение АВС 
, 
,
, 
, 
.
является нормальным вектором плоскости BCD, следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости ВС D. Уравнение этой прямой 
Координаты проекции точки А на плоскость BCD найдём из системы
или 
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
.
.
– это длина отрезка AN, которая равна
.
, 
.
, 
.
, 
.
,
,
,
.
.
.
. Сделать рисунок.
, 
. Получили уравнение окружности с центром в точке (-3;-5) и радиуса 7. Заданная линия – это верхняя половина указанной окружности.
, 
, 
, 
и 
образуют базис пространства 
;
по этому базису;
и 
.
, если их линейная комбинация 
равна нулю, только при 
что возможно только тогда, когда определитель однородной системы уравнений с неизвестными 
не равен нулю, то есть 
.
образуют базис пространства 
в базисе 
из векторного уравнения 
.
.
по базису 
: 
.
, то
.
, то есть векторы 
ортогональны.
при а) 
;
; в) 
; г) 
;
.
;
;
;
.
.
с точностью до 0,01.
. Так как 
, а 
, то корень уравнения принадлежит интервалу 
. Найдём середину этого интервала 
. Так как 
, то корень уравнения принадлежит интервалу (0;0,5). Найдём середину этого интервала 
и вычислим 
. Следовательно, корень уравнения принадлежит интервалу 
. Продолжим этот процесс до тех пор, пока длина интервала станет меньше заданной точности 0,01.
,
,
,
,
.
меньше требуемой точности. В качестве приближённого значения корня возьмём значение соответствующее середины последнего интервала, что есть 
.
заданных функций:
;
; 4) 
.
.
.
.
.
и 
на отрезке 
, если 
.
может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданному отрезку, либо на границе отрезка.
, 
, 
, 
, 
, 
попадает только точка 
, 
, 
.
, причём 
, наибольшего значения функция достигает в точке 
, причём 
.
; 
; 
; 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
и существует конечный предел 
то 
и 
ведут себя одинаково.
. Выберем 
Известно, что 
расходится.
, и 
расходится, то, следовательно, расходится и 
.
, используя достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, необходимые признак и свойства сходящихся рядов.
.
Сравним данный знакоположительный ряд с рядом 
который расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:
Оба ряда ведут себя одинаково, следовательно, исследуемый ряд расходится.
. Воспользуемся признаком Даламбера: 
, 
.
, то исследуемый ряд сходится.
Воспользуемся радикальным признаком Коши:
, то исследуемый ряд сходится.
. Воспользуемся радикальным признаком Коши: так как 
,
.
, то её ряд Фурье имеет вид 
,
, 
, 
.
, следовательно, 
и ряд Фурье для функции 
,
, 
, 
.
,
. Проинтегрировав по частям, получим
.
. Проинтегрировав по частям, получим
.
.
в точке 
найти:
и его модуль.
по направлению вектора 
.
.
, 
, 
и, следовательно, 
.
.
.
равна 
, где 
- направляющие косинусы вектора 
.
.
найдены ранее, то
.
.
в точке 
записать:
, то уравнение касательной плоскости к поверхности 
имеет вид 
.
, 
, 
.
или 
.
.
.
.
.
.
.
и 
для функции 
в замкнутой области D, заданной системой неравенств 
. Сделать рисунок области D.
.
или 
.
. Эта точка лежит на границе области 
.
и заданная функция становится функцией одного аргумента x: 
( 
).
; 
при 
. Точка 
принадлежит ОА.
и заданная функция становится функцией одного аргумента у: 
. Найдём стационарные точки функции 
: 
; 
при 
. Точка 
принадлежит ОВ.
и заданная функция становится функцией одного аргумента 
:
.
при 
. Эта стационарная точка (1;1) совпадает с точкой 
, 
и 
.
, 
, 
,
, 
,
.
, наибольшее значение 
.
. Аппроксимировать эту функцию линейной функцией 
методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.
.
, 
.
.
. Изобразить область интегрирования.
, 
, 
. Построим область интегрирования
верхняя граница области определяется разными уравнениями.
.
. Изобразить данное тело и его проекцию на плоскость 
.
, то 
где V-объём области интегрирования.
.
.
.
или 
.
.
.
, то есть из уравнения 
.
.
.
дифференциального уравнения 
, удовлетворяющего начальному условию 
.
.
и 
.
. Найдём 
.
.
.
.
; подставим в него значение 
из второго уравнения: 
.
, выразим 
из первого уравнения и подставим во второе: 
или 
.
.
.
, то 
.
.
и 
, то система будет иметь вид 
, а её общее решение 
.