Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Литература [2], §§ 4.1-2.22; [6], часть 1, §§ 1-12 гл.3.

35. Исследовать средствами дифференциального исчисления функции  и построить её график.

Решение

Проведём исследование заданной функции:

1)Найдём производную заданной функции .

2)Найдём интервалы возрастания и убывания функции, решив неравенства  и  соответственно.

, ,

 при  и , следовательно, при этих значениях x функция возрастает.

 при  следовательно, при этих значениях x функция убывает.

3) Найдём точки экстремумов функции:  при  и  

При переходе через точку  знак  меняется с «+» на «-», следовательно, точка  является точкой максимума функции, причём

При переходе через точку  знак  меняется с «-» на «+», следовательно, точка  является точкой минимума функции, причём .

4) Найдём  и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, решив неравенства  и  соответственно.

;  при , то есть при  следовательно, при график функции выпуклый;  при , следовательно, при  график функции вогнутый. Точка  разделяет интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, следовательно,  является точкой перегиба графика функции, причём

5) Так как функция определена при всех значениях , то её график не имеет точек разрыва и, следовательно, не имеет вертикальных асимптот.

Так как  то наклонных асимптот график функции не имеет.

6) Строим график функции

36. Найти предел функции, используя правило Лопиталя:

 а) ; б) .

Указание. Согласно правилу Лопиталя .

Ответ: а) ; б) 0.

37. Найти первый и второй дифференциалы функции  в точке :

а) , ; б) , .

Указание. .

Ответ: а) , ; б) , .

 

 

Интегральное исчисление функции одной переменной

Литература [2], §§ 5.1; 5.2, 5.6, 5.7, 6.1-6.4, 6.8; [6], часть 1, §§ 1-11 гл.4.

38. Вычислить интегралы: а) ;

б) .

 

Указание. Воспользоваться свойствами неопределенных интегралов и таблицей интегралов.

Ответ: а) ;

            б) .

39. Вычислить интегралы: а) ; б) ; в) ;

 г) .

Указание. Воспользоваться методом подведения под знак дифференциала.

Ответ: а) ; б) ; в) ;

 г) .

40. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ;   б) .

Решение. а) Изобразим фигуру, ограниченную линиями  и

Найдём абсциссы точек пересечения линий  из системы

Решив систему, получим . Следовательно,

Ответ: а) 4,5;   б) .

Числовые и функциональные ряды. Гармонический анализ

Литература [2], §§ 9.1; 9.12; [3], §§ 4.1-4.6; [6], часть 1, §§ 1-5 гл.5, часть 2, §§ 1-4.

41. Записать три первых отличных от нуля члена ряда Маклорена для следующих функций:

а) ; б) .

Указание. Найти значения производных  и подставить их в ряд Маклорена для функции , который имеет вид .

Ответ: а) ;  б) .

42. Используя разложение , записать степенной ряд для функции: а) ;  б) .

Указание. В случае а) сделать преобразование , в случае б) разложить  в ряд и его почленно проинтегрировать.

Ответ: а) ; б) .

43. Разложить функцию  в ряд Фурье:

а) по косинусам; б) по синусам.

Указание. Если функция  четная, то . Если функция  нечетная, то .

Ответ: а) ;

б) .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: