Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Литература [1], §§ 5-13,24-26; [6], часть 1, §§ 4-9 гл.1.

13. При каких α и β векторы: а) и ;

б) и коллинеарные?

Указание. Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты, поэтому .

Ответ: а) ; б) .

14. Вектор составляет с осью угол , а с осью угол . Найти угол между осью и вектором и координаты вектора , если: а) , - угол тупой; б) , - угол острый.

Указание. Направляющие косинусы удовлетворяют равенству . Координаты вектора выражаются через его модуль и направляющие косинусы: , , .

Ответ: а) ;

б) .

15. Вычислить проекцию вектора на ось вектора , если:

а) , ;

б) , .

Указание. Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле , где , .

Ответ: а) 6; б) .

16. Найти модуль векторного произведения , если:

а) ;

б) .

Указание. Вычислить сначала координаты векторов и , а затем воспользоваться формулой для вычисления векторного произведения векторов и , заданных координатами, .

Ответ: а) ; б) .

17. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, если:

а) и ;

б) .

Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и, найдя модули этих векторов, проверить, выполняется ли теорема Пифагора, или, найдя скалярные произведения каждой пары векторов, выяснить, есть ли среди векторов перпендикулярные.

Ответ: а), б) Утверждения верны.

18. Вычислить внутренние углы треугольника , если:

а) ;

б) .

Указание. Найти координаты векторов , составляющих стороны треугольника и воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами .

Ответ: а) , ;

б) , , .

19. При каких значениях параметра векторы и будут компланарными, если:

а) ;

б) ?

Указание. Найти смешанное произведение векторов, приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

Ответ: а) ; б) .

20. Установить, что три плоскости , , имеют только одну общую точку и найти координаты этой точки.

Указание. Решение системы и будет являться точкой пересечения заданных плоскостей.

Ответ: .

21. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла: а) , б) ,

в) .

Указание. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях и вычислить площади прямоугольных треугольников.

Ответ: а) 240; б) 480; в) 400.

22. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей отрезки и : а) на координатных осях и ; б) на координатных осях и .

Указание. По условию задачи для пункта а) точки и лежат в искомой плоскости, следовательно, вектор также лежит в этой плоскости. Вектор является вектором нормали искомой плоскости. Если вектор - нормаль, а точка - точка плоскости, то уравнение плоскости .

Ответ: а) ; б) .

23. Определить, лежит ли точка внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

а) , , ;

б) , , .

Указание. Найти координаты вершин треугольника и уравнения сторон треугольника. Записать систему неравенств, определяющую треугольник. Выяснить: удовлетворяют ли координаты заданной точки системе неравенств.

Ответ: а) вне треугольника; б) внутри треугольника.

24. Найти угол между прямыми:

а) и , если : и : ;