ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

2.1.   Краткие теоретические сведения, методы и примеры расчета.

                Основные законы и расчетные формулы.

                                                             

I

                                                                                                        

U а b

             Рис.1.                                                                  Рис.2.                                                                                               

Закон Ома (Рис.1 и 2).                                                      

Для пассивного участка цепи ab:         Для активного участка цепи ab:

                                                         ,

где: R – сопротивление участка цепи; U _ab – напряжение на участке цепи;

E –ЭДС источника и ток I, протекающий через участок цепи.

Законы Кирхгофа (Рис.3).

Узел - точка схемы, к которой присоединены три и более ветвей.

Ветвь - это участок цепи между двумя узлами.

Контур - любой замкнутый путь, по которому может течь электрический ток.

На рисунке 3: A,B,C,D - узлы;  AB,CD,BC,DA - ветви;  ABCDA-контур.

1  Закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю

                                            .                                                       

Правило составления уравнений по I закону Кирхгофа

Условимся, что ток, который втекает в узел, имеет положительный знак,

который вытекает, отрицательный.

Пример: узел C               .

2 Закон Кирхгофа

В замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в данном контуре:                                                       

Правила составления уравнений по II закону Кирхгофа

Условимся, что если направление обхода контура совпадает с направлением тока в сопротивлении, падение напряжения IR имеет знак +, если направления не совпадают, IR имеет отрицательный знак.

Условимся, что если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС, знак E положителен, если направления не совпадают - отрицателен.

    Например, для контура ABCDA:  -

                                   I₅       E₁     R₁         I₆

                                                                     I₁                                                                                                                                                              E₂

                     R₄   I₄                         I₂    R₂

                                            I₃              E₃

                        D                                                   C

                                  I₉      R₃                 I₈  I₇

                                              Рис.3.

Баланс мощностей.

В любом замкнутом контуре суммарная мощность, выделяемая источниками ЭДС  равна мощности, преобразуемой в другие виды энергии потребителями , т.е.

                                          ,

 где:                            и     .

При этом в генераторном режиме источника направления ЭДС Е_i и тока I_i совпадают, а в режиме потребителя они противоположны.

Для контура ABCDA:

      

Последовательное соединение резисторов (Рис. 4).

                                      I      R ₁

                                  

                          U           U 1   U ₂       R ₂

                                     U ₃

                                                 R ₃

                                            Рис. 4.

В этом случае единственный ток I протекает через все резисторы .

По второму закону Кирхгофа имеем:

                                 ,

откуда                              

и, наконец,                       (эквивалентное сопротивление).

Для n последовательно включенных сопротивлений:

                                            .                       

Параллельное соединение резисторов (Рис.5).

Единственное напряжение U приложено ко всем сопротивлениям .

Согласно первому закону Кирхгофа имеем:

                                 ,

откуда                   . 

 

 

                                                                                             

                                  

                                           

 

 

                                                    Рис. 5.

Проводимость - величина, обратная сопротивлению:

                                            G = 1/Ом.

Тогда для n включённых параллельно сопротивлений:

                                            , т.е. Gэкв = G₁ + G₂  +…G n_.                        

Частный случай:

Если имеем только два включённых параллельно сопротивления R1 и R2, то эквивалентное сопротивление цепи равно:

                                 , или Gэкв = G₁ + G₂,  

откуда                                 .

 

 

Примеры решения задач

Метод законов Кирхгофа

Пример №1. Для электрической цепи, схема которой изображена на рис.6, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:

1. Составить систему уравнений для определения токов

по первому и второму законам Кирхгофа, для чего необходимо:

1.1. Определить число ветвей, а по ним - число неизвестных токов (m).

Этим числом определяется общее количество уравнений, составленных

по первому и второму законам Кирхгофа.

1.2. Произвольно выбрать положительные направления m токов  I 1 , I 2,… I m .

1.3. Определить количество уравнений y, которые следует составить по пер-

вому закону Кирхгофа: у = п -1, где n - количество узловых точек (узлов).  

Пример:  п = 4,  у = 4 - 1 = 3 уравнения.

1.4. Составить  у  уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом условимся с плюсом записывать токи, идущие к узлу, а токи, направленные от узла– с минусом.

1.5. Определить количество уравнений k, которые следует составить по вто-

рому закону Кирхгофа k = т - (п - 1), где т - общее число всех неиз-

вестных токов. Пусть т = 6, п = 4, тогда k = 6 - (4 -1) =3 уравнения.

1.6. Произвольно выбрать независимые контуры и положительное направление обхода в них; произвольно расставить направления токов в ветвях.

1.7. Составить для независимых контуров «k» уравнений по второму закону

Кирхгофа. Условимся, что если ЭДС, напряжения и токи совпадают

с выбранным положительным направлением обхода контура, то им приписывают знак «плюс», а если не совпадают - «минус».

Запишем систему т уравнений, составленную для данного примера  из 3х уравнений по первому и 3х уравнений по второму закону Кирхгофа.

 Уравнения записываем в регулярной форме.

1.8. Составить определители из значений ЭДС и коэффициентов при неизвестных токах.

1.9. Загрузить в оперативную память компьютера программу решения системы т уравнений.

1.10. Ввести в компьютер коэффициенты при неизвестных токах и значения ЭДС.

1.11. Сделать распечатку.

Рассмотрим электрическую цепь Рис.6:

      E 1 =22В, E 2= 24 B, Eз=10В 

R 01 =0,2 Ом

R 02 =0 Ом                                  Рис.6.

  R оз =1,2 Ом

       R 1=2 Ом;       R 2 =1 Ом;        Rз=8 Ом;        R ₄=4 Ом;

R ₅ = 10 Ом;       R6 =6 Ом.

Определить токи в ветвях методом законов Кирхгофа.

Решение                                      

1.1. Определяем число ветвей, т.е. число неизвестных токов (m).

В примере рис. 6   m = 6.

1.2. Произвольно выбираем положительные направления токов I 1 , I 2, I 6

(см. рис. 6).

1.3. Определяем количество уравнений у, которые следует составить по пер

вому закону Кирхгофа:  у = n - 1, где n - количество узловых точек (узлов).

п = 4,  у = 4 – 1 = 3 уравнения.

1.4. Составляем у уравнений по первому закону Кирхгофа.

Условимся токи, идущие к узлу, записывать с плюсом, а токи, направленные от узла - с минусом.

Для узла А: I 1 - I 2 + I 3 = 0                      

Для узла В : I 2 – I 4 – I 6 = 0

Для узла D: - I з – I 5 + I 6 = 0

1.5. Определим количество уравнений k , которые следует составить по втоpому закoну Kирхгофа: k = m - ( n - 1), где m- общее число всех неизвестных токов.  

т = 6, n = 4, тогда k = 6- (4 - 1) = 3 уравнения.

1.6. Выберем независимые контуры и положительные направления обхода в них (см. рис. 6). Если ЭДС, напряжения и токи совпадают с направлением обхода контура, им приписываем знак «плюс», а если не совпадают - «минус».

1.7. Составляем для независимых контуров «k» уравнений по второму закону Kирхгофа:

Для контура I: (R 1 + R 01 )• I 1 - (R 3 + R о 3 )• I 3 + R 5 •I 5 = E 1 – Е 3

Для контура 2: (R 3 + R 02) • I 2 + (R 3 + R о 3 )• I 3 + R 6 • I 6 = E 2 + Е 3

Для контура 3: R 4 • I 4 –R 5 • I 5 – R 6 • I 6 = 0

Запишем в регулярной форме систему из т уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

        I 1      -      I 2       +   I з + 0 +  0    +   0 = 0

        0 +           I 2      +    0   - I 4 +   0     -   I 6 = 0

        0 +         0        -    I з + 0 -    I 5     +  I 6 = 0

(R1+R о 1)•I 1 +      0 - (R з +R оз )•I3  +    0 + R 5• I 5       +     0 = Е 1 - Е з

       0 + (R 2 +R0 2 )•I 2 + (R з +R оз )•I з    +  0     + 0          + R 6• I 6   = E 2 +E 3

        0                 +0          + 0 + R 4 • I 4 -R 5• I 5    + R 6• I 6   = 0

1.8. Составим таблицу из коэффициентов при токах и значений ЭДС.

  1   -   1 +  1 + 0   +   0  +   0  =  0

  0  +   1 + 0  - 1    +  0   -    1  =  0

0  +   0 - 1  + 0    -   1  +   1  =  0

  2.2 +   0 - 9.2 + 0   +   10 +   0  =      12

   0 + 1 +   9.2 +   0  +         0  +    6     =  34

   0 + 0 +     0 + 4   -    10  -         6    =  0

 

1.9. Загрузим в оперативную память компьютера программу решения системы т уравнений.

1.10. Введем коэффициенты при токах и значения ЭДС в компьютер.

1.11. Распечатаем результат.

1.12. Выполним проверку решения.

Метод контурных токов

Для уменьшения количества уравнений применяют метод контурных

токов, в котором за неизвестные принимают контурные токи, протекающие по независимым контурам. Уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, а их количество равно числу независимых контуров.  Во внешних ветвях контура реальные токи и контурные токи равны по абсолютной величине. Во внутренних (смежных) ветвях реальные токи равны алгебраической сумме контурных токов, проходящих по этим ветвям.

 Пример №2:  Рассмотрим ту же электрическую цепь Рис.7 и те же значения для ЭДС и сопротивлений.

E1 = 22 В, E2 = 24 B, Eз = 10 В ,

R01 = 0,2 Ом; R02 = 0 Ом;   Rоз = 1,2 Ом;

R₁=2 Ом; R₂ = 1Ом; R₃= 8 Ом; R₄= 4 Ом; R₅ =10 Ом; R₆ = 6 Ом;

Определить токи в ветвях схемы Рис.7 методом контурных токов

                                                         Рис. 7.

Решение:

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров

 (R1+Rо1+Rз+Rоз+R5) • I 1 k                          - (Rз+Rоз) • I 2k           - R5• I 3k =Е1-Ез

              - (Rз+Rоз) • I 1k+(R2+Rо2+Rз+Rоз+R6) • I 2k             –R6 • I 3k = E2+Ез

                            - R5 • I 1k                       - R6 • I 2k + (R4+R5+R6) • I 3k = 0

Подставим числовые значения сопротивлений и ЭДС и представим в

виде таблицы:

21,4  - 9,2   - 10 -9,2  + 16,2 - 6	= =	12 34
-10    - 6    + 20	=	0

Введем числовые данные таблицы в компьютер и сделаем распечатку

контурных токов:

I 1 k = 6,729 А, I 2 k = 8,06 А,

I 3 k =  5,783 А

Определим реальные токи в ветвях:

I 1 = I 2k = 6, 729 А

I 2 = I 2k = 8, 062 А

I 3 = I 2k– I 1k =  8,062 А -  6,729 А  = 1,333 А

I 4 = I 3k = 5,783 А

I 5 = I 1k – I 3k  =  6,729 А  - 5,783 А   = 0,945 А.

I 6 = I 2 k –I 3 k =  8,062 А - 5, 783 А = 2,278 А

Метод узловых потенциалов М.У.П.

Метод узловых потенциалов М.У.П. основан на первом законе Кирхгофа и позволяет сократить количество уравнений для сложной электрической цепи.

Идея метода: определить потенциалы узлов схемы, зная которые можно по закону Ома вычислить ток любой ветви электрической цепи.

Для определения потенциалов n узлов должна быть составлена система из n уравнений, причём потенциал одного из узлов условно принимают равным нулю. Такое «заземление» не изменяет токи ветвей, поскольку их величина зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов у, а от их разности. Метод позволяет сократить число решаемых уравнений при нахождении неизвестных токов до у – 1. При составлении уравнений токи ветвей выражают через не­известные потенциалы остальных у – 1 узлов схемы и для них запи­сывают уравнения по первому за­кону Кирхгофа. Решение системы у – 1 уравнений позволяет опреде­лить неизвестные потенциалы, а через них найти токи ветвей. При у – 1 < в – у + 1 следует отдавать предпочтение методу узловых потенциалов. Здесь у – узлы, в – ветви.

 - собственная проводимость узла а, т.е. сумма проводимостей ветвей, присоединённых к узлу а;

– взаимная проводимость между узлами а и b , т.е. сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы а и b;

 – узловой ток, равный алгебраической (геометрической) сумме токов источников электрической энергии, сходящихся в узле а;

Правило знаков: со знаком «+» учитываются токи, направленные к узлу. Если в ветви k, присоединённой к рассматриваемому узлу, содержится источник ЭДС E k, то его ток определяется как . Алгоритм расчёта поясним на примере.

    Пример № 3:

Рассчитать токи методом узловых потенциалов в схеме Рис. 8.

        

1. Заземлим точку D : φ _D =0                 Рис.8.

2. Обозначим потенциал точки А через φ а, а потенциал точки В через  φ в,

потенциал точки С через  φ с.

 

3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

 Е 1= 22 В;          Е2 = 24 В;       Ез = 10 В.

R01 = 0,2 Ом;   Ro2 = 0 ;         Rоз = 1,2Oм

R1  = 2 Ом;        R2 = 1 Ом ;      Rз ⁼ 8 Ом.

R4 = 4 Ом;          R5=10 Ом;        R6=6Ом

Определить токи в ветвях.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: