Основные типы задач и методы их решения. В данный раздел включены задачи, связанные с движением заряженных частиц только в

а) Классификация

В данный раздел включены задачи, связанные с движением заряженных частиц только в электрическом или только в магнитном поле, а также задачи, в которых рассматривается движение заряженных частиц в одновременно действующих электрическом и магнитном полях.

Метод решения. Применение формулы Лоренца, основного закона динамики и кинематических уравнений движения.

Если скорости частиц, ускоренных электрическим полем, достигают значений, соизмеримых со скоростью света в вакууме, то следует использовать основные соотношения релятивистской механики.

б) Примеры решения задач

1. Электрон влетает со скоростью υ ₀=10⁷ м/с в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам, длина которых l = 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора          Е = 10 кВ/м. При вылете из него электрон попадает в однородное магнитное поле, направленное вдоль вектора ₀. Магнитная индукция этого поля В = l5 мТл. Определить траекторию электрона в магнитном поле.

Решение.

На электрон в электрическом поле конденсатора действует постоянная электростатическая сила F = eE, направленная вниз и сообщающая электрону ускорение                a = eE / m. Поэтому он начнет двигаться по параболе, а выйдя из поля конденсатора - снова будет двигаться прямолинейно под углом α к вектору скорости ₀.

Вертикальную составляющую скорости электрона при вылете из конденсатора найдем по формуле

.

При попадании электрона в магнитное поле, составляющее угол α с направлением скорости υ , он будет двигаться по винтовой линии. Радиус винтовой линии определится из условия

,  откуда

Шаг винтовой линии  h = υ ₀ T, где .

Таким образом, ;  h = 2, 4 см.

 

       2. В циклотроне протоны ускоряются до кинетической энергии         Е_к = 300 МэВ. Оставляя частоту изменения направления электрического поля постоянной, найти такой закон изменения индукции В от радиуса кривизны траектории протонов в дуантах, при котором напряженность электрического поля между дуантами будет всегда сонаправлена скорости протонов. Определить максимальный радиус полуокружности, по которой протоны движутся в дуантах. Индукция магнитного поля B₀ = 0, 7 Тл.

Решение.

Принцип действия циклотрона состоит в том, что заряженная частица многократно проходит ускоряющее электрическое поле, локализованное в пространстве между дуантами. Внутри дуанта частица под действием магнитного поля движется по дуге окружности радиусом r. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то она не меняет модуль скорости, а изменяет ее направление.

Уравнение движения протона в магнитном поле, с учетом зависимости массы от скорости, можно записать в виде

,

откуда                          .

Таким образом, радиус кривизны траектории возрастает по мере ускорения частицы. Исходя из условия, что время движения протона по дуге полуокружности в одном из дуантов не должно зависеть от скорости, т.е.

,

найдем соотношение между В и В₀:

.

Откуда

.

Это и есть зависимость B(r), при которой напряженность электрического поля и скорость протонов между дуантов остаются все время сонаправленными, причем частота изменения направления электрического поля постоянна. Индукция поля возрастает по мере увеличения скорости протонов.

Для расчета максимального радиуса кривизны траектории определим соответствующее значение скорости из выражения для полной энергии протона

,

 

откуда                        ,

где E₀ = mc² = 940 МэВ – энергия покоя протона. Тогда

.

Полная энергия протона Е = Е₀ +Е_к = 1240 МэВ, а максимальный радиус кривизны r = 2, 9 м.

 

3.4 Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0, 015 Тл по окружности радиусом r = 10 см. Чему равен импульс иона?

Ответ: P = 2, 4·10^-22 кг·м/с.

2. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Ее кинетическая энергия равна 1 кэВ. Найдите силу, действующую на частицу со стороны поля.

Ответ:  Н.

3. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией               В = 0, 1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью         Е = 100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость частицы.

Ответ: υ = 10⁶ м/с.

4. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенное под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0, 1 Тл) поля. Найти отношение заряда частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Ответ:  Кл/кг.

5. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0, 5 Тл. Определить момент импульса, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом 0, 2 см.

Ответ: L = 3, 2·10^-25 кг·м²/с.

6. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0, 3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить  радиус окружности.

Ответ: r = 12 мм.

7. Заряженная частица, обладающая скоростью                   υ =2·10⁶ м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0, 52 Тл. Найти отношение заряда частицы к его массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. Определить по отношению, какая это частица.

Ответ:  Кл/кг, протон.

8. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по окружности радиусом R = 1см. Определите отношение заряда частицы к ее массе, если индукция магнитного поля В = 15, 1 мТл.

Ответ: 17, 5∙ 10¹⁰ Кл/кг..

9. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией  В = 0, 1 Тл движется по окружности. Найти величину эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона.

Ответ:  А.

10. Однозарядные ионы аргона, пройдя ускоряющее напряжение U = 800 В, попадают в однородное магнитное поле, где разделяются на два пучка, движущиеся в вакууме по дугам окружностей радиусами R₁ = 7, 66 см и R₂ = 8, 08 см. Определите массовые числа изотопов аргона, если индукция магнитного поля В = 0, 32 Тл.

Ответ: 35, 9; 39, 9.

11. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10^-4 Тл по винтовой линии. Чему равна скорость электрона, если шаг винтовой линии h = 20 см, а радиус R = 5 см?

Ответ: м/с.

12. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 9·10^-3 Тл по винтовой линии, радиус которой r = 1 см и шаг h = 7, 8 см. Определить период обращения электрона и его скорость.

Ответ: Т = 3, 97·10^-9 с; υ = 25·10⁶ м/с.

13. Электрон движется в однородном магнитном поле так, что вектор его скорости, равной 2·10⁶ м/с, составляет с направлением вектора индукции магнитного поля угол α = π /3. Определите шаг винтовой линии, по которой движется электрон, если В = 0, 01 Тл.

Ответ: 3, 57 мм.

14. Какую энергию приобретет протон, сделав 40 оборотов в магнитном поле циклотрона, если максимальное значение переменной разности потенциалов между дуантами U = 60 кВ? На сколько процентов масса протона, обладающего такой кинетической энергией, больше массы покоя? Какую скорость приобретет протон?

Ответ: Т = 2 eυ N = 4, 8·10⁶ эВ; ;  υ =3·10⁷м/с.

15. В циклотроне требуется ускорить ионы гелия (Не⁺⁺). Частота переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, 10⁷ Гц. Какова должна быть индукция В магнитного поля, чтобы период обращения ионов совпадал с периодом изменения разности потенциалов?

Ответ:  Тл.

16. Сколько оборотов должен сделать протон в магнитном поле циклотрона, чтобы приобрести кинетическую энергию Т = 10⁷ эВ, если протон проходит между дуантами всегда при максимальной разности потенциалов U = 30 кВ?

Ответ: N = 167.

17. Определите удельный заряд частиц, ускоренных в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией      В = 1, 7 Тл при частоте ускоряющего напряжения ν = 25, 9 МГц.

Ответ: 9, 57·10⁷ Кл/кг.

18. Определите постоянную Холла для натрия, если для него отношение концентрации электронов проводимости к концентрации атомов составляет 0, 984. Плотность натрия              ρ = 0, 97 г/см³.

Ответ: 2, 5·10^-10 м³/(А·с)

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: