Дифракция Френеля на крае полуплоскости и щели

 

Полуплоскость. Принцип Гюйгенса — Френеля можно применить для нахождения распределения интенсивности вблизи границы тени, отбрасываемой краем большого экрана.

Ограничимся случаем плоской волновой поверхности падающей нормально на экран волны, что соответствует бесконечно удаленному точечному источнику (или точечному источнику, находящегося в фокусе линзы). Введем в плоскости экрана Э1 (рис.3.6) координатные оси x и y c началом в точке О, лежащей на луче падающей волны, проходящем через точку наблюдения P, ось Oy параллельна краю экрана. Ось z проходит через точку P на экране Э2, расположенным на расстоянии L от экрана Э1. В плоскости экрана Э2 введем координатную ось O₂x₂, перпендикулярную границе геометрической тени.

 

 

Рис.3.6

 

Используя интеграл (3.16), найдем вклад участка волновой поверхности в виде параллельной оси y полосы, простирающейся от x = 0 до x = x₁ > 0:

                    .            (3.23)

Вычислив интеграл по y и сделав замену переменной интегрирования x на безразмерную переменную u = x , получим:

      .

Опуская несущественный фазовый множитель , окончательно получим:

                    .            (3.24)

Вычисление A _P по формуле (3.24) удобно проиллюстрировать с помощью векторной диаграммы. Разобьем волновую поверхность на элементарные полоски равной ширины dx. Колебание в точке P, вызываемое вторичной волной от элементарной полоски, расположенной вдоль оси y (при x = 0), изобразим вектором dA₁ (рис.3.7). Колебание от следующей полоски изобразится таким же по модулю вектором dA₂, повернутым относительно dA₁ на некоторый угол, так как эта вторичная волна проходит до P большее расстояние и отстает по фазе. В дальнейшем угол между соседними векторами элементарных колебаний dA _i и dA _{i + 1} становится все больше, так как запаздывание по фазе вторичной волны от элементарной полоски, расположенной на расстоянии x от y, пропорционально квадрату этого расстояния x² (см. (3.24)). Этим рассматриваемая векторная диаграмма отличается от диаграммы на рис.3.3.

 

 

Рис.3.7

Колебание в P от широкой полосы волновой поверхности изобразится суммой векторов dA _i от всех укладывающихся на ней элементарных полосок dx (вектор A _P на рис.3.7, а). В пределе, когда ширина dx каждой элементарной полоски стремится к нулю, цепочка векторов dA₁, dA₂, ... превращается в плавную кривую, называемую спиралью Корню (см. рис.3.7, б). Она состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F и F ¢. Ее левая половина описывает действие вторичных волн от участков волновой поверхности, лежащих слева от оси y (при x < 0 на рис.3.6). Колебание в P от части волновой поверхности, лежащей справа от оси y на рис.3.6 (т.е. при 0 < x < ¥), изображается вектором, проведенным из O в правый фокус F спирали Корню. Колебание в P от всей волновой поверхности (-¥ < x < ¥) изображается вектором, соединяющим фокусы F и F ¢. Для нахождения колебания в P от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между x = x¢ и x = x¢¢, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали.

Выражение (3.24) представляет собой параметрическое уравнение спирали Корню в комплексной форме. Если в плоскости векторной диаграммы ввести прямоугольные координаты x и h так, как показано на рис.3.7, б, то уравнение спирали Корню примет вид

, .

Функции x(u₁) и h(u₁) называются интегралами Френеля. Их значения при u₁ ® ±¥ дают координаты фокусов спирали Корню: x_F = h_F = 1/2; . Параметр  определяет длину дуги спирали Корню, отсчитываемую от точки O.

Угловой коэффициент касательной к спирали Корню , откуда . При u₁ = 0 угол a = 0, т.е. в точке O спираль касается оси x. При u₁ = 1 угол a = p/2, т.е. касательная вертикальна и т.д. Соотношение a = p u₁²/2 позволяет по заданному значению x₁ найти соответствующую точку на спирали Корню.

При любом расположении точки наблюдения P относительно края экрана правая часть волновой поверхности полностью открыта (см. рис.3.6). Поэтому на векторной диаграмме колебанию в P сопоставляется вектор QF, конец которого всегда находится в верхнем фокусе F (рис.3.7, б). Положение начала этого вектора (точка Q) на спирали Корню зависит от положения точки наблюдения P: точке Q соответствует значение параметра . Когда P находится на границе геометрической тени (x₂ = 0), точка Q совпадает с O и колебание изображается вектором OF, равным A₀/2. Поэтому интенсивность при x₂ = 0 в четыре раза меньше интенсивности I₀ в отсутствии экрана. При перемещении точки наблюдения P в освещенную область, т.е. вправо на рис.3.6, точка Q на векторной диаграмме (см. рис.3.7, б) будет перемещаться по нижней ветви спирали Корню. При этом интенсивность будет последовательно проходить через максимумы и минимумы (см. рис.3.6, x₂ > 0).

Максимумам и минимумам интенсивности соответствуют точки нижней ветви спирали Корню, расстояние до которых от верхнего фокуса F соответственно максимально или минимально (см. рис.3.7, б). Приближенно можно считать, что эти точки находятся на пересечении спирали с продолжением прямой FF ¢, так как в этих точках прямая FF ¢ почти перпендикулярна спирали Корню. В этих точках тангенс угла наклона касательной tga » -1. В первом максимуме a₁ » 3p/4, в n-м — a_n » 3p/4 + 2p(n - 1). В первом минимуме a₁ » 5p/4, в n-м — a_n » 5p/4 + 2p(n - 1). Таким образом, максимумы интенсивности находятся на расстояниях

                  , n = 1, 2, ...          (3.25)

от края геометрической тени, а минимумы на расстояниях

                 , n = 1, 2, ... .          (3.26)

В первом, наибольшем из максимумов, интенсивность I₁ = 1,37I₀ наблюдается на расстоянии  от края геометрической тени, минимальная I₂ = 0,78I₀ при . Следующие максимум и минимум при  и . С увеличением расстояния x₂ от края геометрической тени размах колебаний интенсивности уменьшается и она приближается к значению I₀, а места максимумов и минимумов постепенно сближаются друг с другом.

При перемещении точки наблюдения P в область геометрической тени экрана точка Q на векторной диаграмме (см. рис.3.7, б) будет перемещаться по верхней ветви спирали Корню. Длина вектора QF, а следовательно, и интенсивность монотонно уменьшаются с увеличением расстояния x₂, асимптотически приближаясь к нулю.

В заключение отметим, что между светом и тенью от края большого экрана ( ) нет резкой границы: в области геометрической тени интенсивность спадает монотонно, а вблизи края освещенной области наблюдаются дифракционные полосы переменной толщины.

Следует отметить, что при падении на экран сходящейся или расходящейся волны формулы (3.23) - (3.26) остаются прежними, если расстояние L определяется по формуле (3.15).

Щель. Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полуплоскости. Следовательно, задача о дифракции от щели может быть решена с помощью спирали Корню.

Амплитуде A _P соответствует вектор  (см. рис.3.7, б). Причем для центра картины  и  располагаются симметрично на разных ветвях спирали. Если ширина щели a отвечает условию a²/lL >> 1 (предел широкой щели),  почти совпадает с  и интенсивность в центре » I₀. При удалении от центра точка  движется по спирали Корню вблизи фокуса, поэтому интенсивность практически не меняется. И только вблизи краев щели наблюдаются колебания интенсивности.

Если уменьшить размер щели a или увеличить расстояние L так, чтобы a²/lL ~ 1, то даже в центре картины интенсивность будет заметно отличаться от I₀. В этом случае в центре дифракционной картины может наблюдаться как максимум, так и минимум интенсивности.

При дальнейшем уменьшении размеров щели a²/lL << 1 дифракция Френеля переходит в дифракцию Фраунгофера.

 

§ 7. Дифракция Фраунгофера на щели

и прямоугольном отверстии

 

Проинтегрировав (3.19) по y, получим:

                 .         (3.27)

В пределе k _x ® 0 дробь обращается в единицу (sin x ~ x при малых x), следовательно, произведение Ca — амплитуда в центре дифракционной картины. Учитывая, что I ~ |A|², выразим интенсивность в произвольной точке через интенсивность I₀ в центре картины:

                               .                        (3.28)

 

 

Рис.3.8

 

График зависимости приведен на рис.3.8. По обе стороны центрального максимума расположены минимумы и побочные максимумы малой интенсивности. Минимум интенсивности (I = 0) наблюдается при условии: k _x a/2 = pm и, учитывая, что k _x = ksinq = = 2p/l sinq, запишем условие минимума в виде

                       a sinq = ml , m = ±1, ±2, ... .                (3.29)

Условие (3.29) можно получить из простых соображений. Если разность хода D от краев щели равна ml, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2m равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна l/2 (рис.3.9). Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга так, что результирующая амплитуда равна 0. Если для точки наблюдения P разность хода D = (m + 1/2)l, число зон будет нечетным, действие одной из них окажется нескомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Ширина G центрального максимума на половине высоты примерно равна расстоянию от центра максимума до ближайшего минимума (см. рис.3.8):

                             ; G_q = l/a,                      (3.30)

где — ширина в единицах k _x; G_q — угловая ширина.

Пусть в непрозрачном экране Э1 имеется прямоугольное отверстие размерами a и b. Выбрав системы координат так, как показано на рис.3.8, и вычислив интеграл (3.19) по поверхности отверстия, получим:

, (3.31)

где A₀ — амплитуда в центре картины.

Дифракционная картина имеет вид креста, состоящего из дифракционных максимумов (рис.3.10). Большей стороне отверстия соответствует меньшая ширина максимума.

 

Рис.3.9	Рис.3.10

 

В отличие от дифракции Френеля при дифракции Фраунгофера в центре дифракционной картины всегда наблюдается максимум интенсивности.

⇐ Предыдущая28293031323334353637Следующая ⇒

Поделиться: