Принцип Гюйгенса — Френеля

 

Всякая дифракционная задача, если ее рассматривать строго, сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. Однако в такой строгой постановке задачи, ввиду их сложности, допускают аналитические решения лишь в простейших случаях. В оптике, ввиду малости длин волн, большое значение имеют приближенные методы решения дифракционных задач, основанные на принципе Гюйгенса в обобщенной формулировке Френеля и Кирхгофа.

Согласно принципу Гюйгенса каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени — огибающей этих волн. Этот принцип дает качественное объяснение поведению света в ряде волновых оптических явлений и, в частности, явлению проникновения света в область геометрической тени. Френель смог объяснить явление дифракции, дополнив принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Такое сочетание теории Гюйгенса и принципа суперпозиции называется принципом Гюйгенса — Френеля.

Рассмотрим распространение света в однородной изотропной среде. Будем характеризовать световое поле, например, напряженностью электрического поля . Каждая из его проекций E _i удовлетворяет волновому уравнению (см. § 2 разд.1):

                                  ,                             (3.4)

где v — скорость распространения света в среде; D — оператор Лапласа.

Для монохроматической расходящейся сферической волны решение (3.4) имеет вид (см. § 3 разд.1):

                               ,                          (3.5)

где w — частота света; k = w /v = 2p/l — волновое число. В дальнейшем будем использовать уравнение (3.5) в комплексной форме:

,

или

                                   E = Re A e^{- i w t},                              (3.6)

где — комплексная амплитуда колебаний поля в данной точке. Для плоских и цилиндрических волн колебания напряженности E будут также определяться (3.6) с амплитудами  и  соответственно (см. § 2 и 4 разд.1). Интенсивность волны определяется квадратом модуля амплитуды колебаний (см. § 6 разд.1):

                                   .                             (3.7)

Пусть S (рис.3.2) — мгновенное положение сферического волнового фронта с радиусом r₀, распространяющегося от точечного источника P₀. Определим амплитуду колебаний поля A _P в точке P.

 

 

Рис.3.2

 

Амплитуду колебаний в точке Q волнового сферического фронта представим в виде a₀exp(ikr₀)/r₀. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных когерентных сферических волн; вклад в амплитуду dA _P, вносимый элементом поверхности dS, на котором располагается точка Q, запишем в виде

                         ,                    (3.8)

где s = QP, K(j) — коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления, а j — угол между нормалью в точке Q и направлением QP (угол дифракции).

Коэффициент наклона K(j) был введен Френелем как феноменологический коэффициент, имеющий следующие свойства. Модуль K(j) максимален при j = 0 и монотонно убывает с увеличением угла j.

Из теории Кирхгофа, основанной на том, что напряженность поля световой волны удовлетворяет волновому уравнению (3.4), следует для сферической волны

                            K(j) = -ik(1 + cosj)/4p .                      (3.9)

При малых углах дифракции j << 1 можно положить cosj » 1 и K(j) » K(0) = - ik/2p.

 

Зоны Френеля

 

Разобьем поверхность S на такие области, чтобы расстояние от краев каждой области до точки P отличалось на половину длины волны l/2 — такие участки волновой поверхности называются зонами Френеля. Построим вокруг точки P сферы с радиусами

b, b + l/2, b + 2l/2, b + 3l/2, ..., b + ml/2, ... и т.д.,

где b = CP, а С — точка пересечения P₀P с волновым фронтом S, m — номер зоны Френеля (см. рис.3.2).

Расстояния b и r₀ велики по сравнению с длиной волны света l, тогда коэффициент наклона в пределах одной зоны Френеля можно считать постоянным. Разобьем поверхности зон на узкие кольца, расстояние от границ которых до точки P отличается на величину ds. Используя теорему косинусов: s² = (b + r₀)² + r₀² - 2(b + + r₀) r₀cosq, получим sds = (b + r₀) r₀sinqdq. Площадь узкого кольца

_.

Подставив dS в (3.8), найдем вклад в амплитуду dA _P, от узкого кольца:

                         ,                  (3.10)

где K _m — среднее значение коэффициента наклона в пределах m-й зоной Френеля.

Амплитуду колебаний A _Pm, созданную одной m-й зоной Френеля в точке P, найдем, проинтегрировав (3.10) по расстоянию s от внутренней границы зоны, расположенной на расстоянии s₁ = b + (m - 1)l/2, до внешней границы зоны, расположенной на расстоянии s₂ = b + ml/2

  . (3.11)

Коэффициент наклона K(j) медленно убывает с ростом номера зоны и для последней N-й зоны Френеля, когда j ® p, согласно (3.9), K _N = 0.

Амплитуда A _P от всех зон Френеля равна амплитуде колебаний А, созданной точечным источником на расстоянии b + r₀:

.

При малых углах дифракции j << 1, как следует из формулы (3.9), коэффициент K _m можно положить равным значению коэффициента наклона при j = 0:

.

Подставив K _m в (3.11), получим, что амплитуда

                                 ,                         (3.12)

т.е. приблизительно в два раза больше по модулю амплитуды колебаний А от всего волнового фронта. Множитель  в (3.12) показывает, что четные и нечетные зоны создают в точке P противоположные по фазе колебания.

Для решения дифракционных задач часто применяют графические методы сложения амплитуд. Построим векторную диаграмму колебаний, создаваемых волновым фронтом S. Разобьем поверхность S на такие узкие кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине, чтобы разность фаз dd вторичных волн, пришедших от любых соседних колец, была одинакова. Так как dd = kds, то одинаковым dd соответствуют одинаковые ds, и согласно (3.10) кольца создают почти равные амплитуды колебаний.

Колебание, создаваемое в точке P каждой из зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, выбранным за направление отсчета, дает начальную фазу колебаний. Амплитуду колебания, создаваемого центральным кружком, изобразим вектором 0 - 1 (рис.3.3, а). Кольцо, окружающее центральный участок, даст вектор 1 - 2, повернутый относительно отрезка 0 - 1 на угол dd и имеющий ту же длину; следующее кольцо даст 2 - 3 и т.д. Каждое следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту же величину dd. Если учесть обусловленное коэффициентом K слабое убывание амплитуды с увеличением расстояния s, то векторы образуют ломаную спиралевидную линию. В пределе dd ® 0 ломаная линия принимает вид спирали, медленно закручивающейся к точке С (рис.3.3, б).

 

 

Рис.3.3

Участок 0 - 1 на рис.3.3, б, в соответствует первой зоне Френеля, так как фазы колебаний в точках 0 и 1 отличаются на d = p (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Аналогично, участок 1 - 2 соответствует второй зоне, 2 - 3 — третьей зоне и т.д. Вектор, проведенный из точки 0 в точку 1 (см. рис.3.3, в), изображает колебание с амплитудой A₁, возбуждаемой в точке P этой зоной. Аналогично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (см. рис.3.3, в), изображает колебание с амплитудой A₂, возбуждаемой второй зоной Френеля. Участок OB (см. рис.3.3, в) соответствует внутренней половине первой зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке P всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС (см. рис.3.3, б).

 

⇐ Предыдущая26272829303132333435Следующая ⇒

Поделиться: