Дифракция на периодических структурах

 

Поставим на пути распространения плоской монохроматической световой волны экран Э1, содержащий N одинаковых отверстий, расположенных на равных расстояниях d друг от друга (рис.3.12). Рассмотрим случай нормального падения света на экран. Введем систему прямоугольных координат xyz, ось z перпендикулярна плоскости экрана Э1. Отверстия располагаются на оси x с периодом d и занимают отрезок длиной l = Nd.

 

 

Рис.3.12

 

Если амплитуда колебаний дифрагировавших на первом отверстии волн в направлении  равна A₁, то согласно (3.19) амплитуда дифрагировавших на втором отверстии волн в том же направлении определяется интегралом:

,

учитывая, что , получим

.

Соответственно, для n-го отверстия: .

Таким образом, соседние отверстия создают волны, отличающиеся по фазе на постоянную величину

                                   d = 2pD/l = k _x d,                           (3.33)

где D = d sinq — разность хода волн от соседних отверстий.

Амплитуды A _n образуют геометрическую прогрессию. Вся система отверстий создает колебание с амплитудой:

      . (3.34)

При получении (3.34) использовалась известная формула для суммы конечного числа членов геометрической прогрессии: .

Интенсивность излучения

                                .                         (3.35)

Это выражение определяет диаграмму направленности излучения всей цепочки через диаграмму направленности одного элемента, описываемую зависимостью I₁( ). Дробь в (3.35) периодична по d с периодом 2p. Точки, в которые от всех отверстий приходят синфазные колебания, называют главными максимумами интенсивности. Условие главного максимума порядка m:

         d = k _x d = 2pm; d sinq = ml, m = 0, ±1, ±2, ... .  (3.36)

Целое число m называют порядком главного максимума или порядком спектра.

Формула (3.36) имеет простое физическое объяснение. При дифракции Фраунгофера каждый участок волновой поверхности является источником плоских волн. Периодично расположенные участки в соответствующих отверстиях можно рассматривать как систему синфазных источников. При интерференции волн максимум интенсивности будет наблюдаться при условии: D = d sinq = ml.

Амплитуда и интенсивность в главном максимуме:

                                A = NA₁; I = N ² I₁.                         (3.37)

Между соседними главными максимумами имеется (N – 1) минимумов интенсивности, положение которых определяется нулями дроби в (3.35). Так, положения минимумов между спектрами m-го и m + 1-го порядков определяется условием

d = k _x d = 2p(m + p/N); d sinq = (m + p/N) l, p = 1, 2, ..., N – 1. (3.38)

Между этими минимумами интенсивности расположены побочные максимумы интенсивности. Таким образом, между соседними главными максимумами находятся (N – 2) побочных максимумов малой интенсивности. На рис.3.13 приведены графики интенсивности при дифракции на N щелях шириной a и периодом d = 4,5a. Зависимость I₁ определяется выражением (3.37). При N = 2 имеем картину интерференции волн от двух источников: I = 4I₁cos²d/2; при N = 3 между главными максимумами имеется один побочный (см. рис.3.12, а).

 

 

Рис.3.13

При N >> 1 энергия распространяется в основном в направлениях главных максимумов. Распределение интенсивности вблизи каждого главного максимума такое же, как при дифракции на щели шириной l ~ Nd (см. рис.3.12, б). Угловую ширину главного максимума определим как разность углов, соответствующих максимуму m-го порядка и ближайшего к нему минимума. Из формул (3.36) и (3.38) получим:

d sin(q + G) – d sinq = l/ N.

Используя формулу приближенных вычислений: D(sinq) = = cosqDq, найдем угловую ширину:

                                    .                            (3.39)

Зависимость  дает огибающую вершин главных максимумов.

 

Дифракционная решетка

 

Дифракционная решетка — важнейший спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Как правило, она представляет собой плоскую стеклянную или металлическую поверхность, на которой делительной машиной нарезано очень много (до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов. На стеклянных решетках наблюдения можно производить как в проходящем, так и в отраженном свете, на металлических — только в отраженном. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, т.е. либо на бесконечно удаленном экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.

Простейшим идеализированным примером дифракционной решетки может служить непрозрачный экран, в котором вырезаны равноотстоящие параллельные щели. Расстояние d между щелями называется периодом решетки. Таким образом, дифракционная решетка является периодической структурой и поэтому интенсивность прошедшей волны I определяется формулой (3.35), где I₁ — интенсивность света от одной щели (3.28). В направлениях, определяемых условием (3.36), получаются главные максимумы, интенсивность которых в  раз превосходит интенсивность волны от одной щели в том же направлении.

 

Рис.3.14

 

Если волна падает на решетку наклонно под углом q₀, то разность хода между соседними пучками становится равной D = AD – – CB = d (sinq – sinq₀)  (рис.3.14). Характер дифракционной картины в основном сохраняется, интенсивность определяется формулой (3.35). Положение главных максимумов определяется условием

               d (sinq – sinq₀) = ml, m = 0, ±1, ±2, ... .        (3.40)

а дифракционных минимумов — условием

        d (sinq – sinq₀) = (m + p/N) l, p = 1, 2, ..., N – 1. (3.41)

Под дифракционной решеткой в широком смысле слова понимается всякая структура, обладающая пространственной периодичностью. Если свойства структуры периодически меняются только в одном направлении, то решетка называется одномерной или линейной. Если же периодичность имеет место в двух или трех направлениях, то решетка называется двумерной или трехмерной (пространственной) соответственно. В лабораторном практикуме рассматриваются только линейные решетки.

Переднюю часть решетки, на которую падает световая волна, называют входом, а заднюю — выходом. Эта терминология применима и для отражательной решетки (работа 3.3). Для нее входом и выходом служит одна и та же (передняя) поверхность.

Не обязательно, чтобы при прохождении через решетку менялась амплитуда волны. Существенно только, чтобы на выходе решетки периодически менялось волновое поле в целом. Поэтому дифракционной решеткой можно считать любое устройство, обеспечивающее периодическую пространственную модуляцию падающей световой волны по амплитуде и фазе. Различают два крайних идеализированных случая.

1. Решетка вносит периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на ее фазу. Такая решетка называется амплитудной.

2. Решетка вносит периодические изменения в фазу волны, не влияя на ее амплитуду. Такая решетка называется фазовой.

Всякая реальная решетка не является чисто амплитудной или чисто фазовой. Она периодически меняет на выходе как амплитуду, так и фазу поля. Практическим примером амплитудной решеткой является рассмотренная выше совокупность равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Приближением фазовой решетки может служить стеклянная пластинка с нанесенным на нее слоем фотоэмульсии переменной толщины (работа 3.4).

Форма штрихов, нанесенных на решетку, материал из которого она изготовлена, и т.п. сказываются лишь на амплитуде волны A₁ от отдельного штриха. Положение же главных максимумов определяется исключительно периодом решетки, а дифракционных минимумов, кроме того, — еще числом штрихов N. При выводе формул (3.36), (3.40) и (3.41) из принципа Гюйгенса — Френеля нет необходимости применять приближенные методы. В решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света. Поэтому существенна только периодичность светового поля на выходе решетки, обусловленная в свою очередь периодичностью структуры последней. Ничего другого о поле на выходе решетки знать не надо. Поэтому перечисленные формулы точны и при d ~ l.

Положение главных максимумов в дифракционной картине зависит от длины волны. Исключение составляют только главные максимумы нулевого порядка (m = 0), положение которых от длины волны не зависит. Белый и всякий сложный свет можно представить как суперпозицию монохроматических компонент с различными длинами волн. Эти волны при дифракции на решетке ведут себя независимо. Поэтому решетка в каждом порядке m ¹ 0 разложит падающий свет в спектр, в котором отдельные монохроматические компоненты окажутся пространственно разделенными. Главные дифракционные максимумы, соответствующие m = ±1, образуют спектр первого порядка. За ним идет спектр второго (m = ±2), третьего (m = ±3) и высших порядков. Если падающий свет — белый, то спектр каждого порядка имеет вид цветной полосы, в которой встречаются все цвета радуги. В такой полосе наиболее удаленными от центра картины будут красные лучи, наименее — фиолетовые.

Положение спектральных линий в спектрах дифракционной решетки определяется простыми соотношениями (3.36) и (3.40). В этом отношении дифракционные спектры выгодно отличаются, например, от спектров призматических, получаемых разложением света дисперсионными призмами. В призматических спектрах положение спектральной линии определяется сложной зависимостью показателя преломления материала призмы от длины волны.

Важными характеристиками дифракционной решетки, как спектрального прибора, являются угловая дисперсия и разрешающая способность.

Угловая дисперсия решетки D_q = dq/dl характеризует изменение положения главных максимумов при изменении длины волны. Чем больше угловая дисперсия, тем больше расстояние в спектре между двумя спектральными линиями с фиксированными длинами волн. Дифференцируя формулу (3.40) при постоянном q₀, получим:

        D_q = dq/dl = m /(d cosq) = (sinq – sinq₀)/(l cosq) . (3.42)

При нормальном падении (q₀ = 0) D_q = dq/dl = tgq/l. Таким образом, угловая дисперсия не зависит от параметров решетки, а определяется, помимо длины волны, только углами q и q₀. Зависимость D_q от порядка спектра m определяется зависимостью углов дифракции от m (3.40). Таким образом, одно и то же значение D_q можно получить при использовании различных по параметрам решеток. Однако порядки спектров, в которых будет получена заданная дисперсия, будут различными.

Разрешающая способность. Большая дисперсия еще не означает, что две спектральные линии с близкими длинами волн l и l¢ = l + dl разрешаются спектральным прибором, т.е. при их наблюдении воспринимаются как раздельные спектральные линии. Каждая спектральная линия, как бы узка она ни была, изображается спектральным прибором не в виде линии, а в виде более или менее размытой дифракционной картины с максимумами и минимумами интенсивности. Дисперсия определяет расстояние, на которое спектральный прибор «разводит» центры дифракционных картин, возникающих от двух спектральных линий с различными длинами волн. Однако чем больше мы их разводим, увеличивая q, тем больше становится их ширина G_q (3.39).

Наименьшая разность длин волн двух спектральных линий dl, при которой спектральный прибор разрешает эти линии, называется спектральным разрешаемым расстоянием, а величина R = l/dl — разрешающей способностью прибора.

Для дифракционной решетки Рэлей предложил следующий критерий спектрального разрешения. Спектральные линии с близкими длинами волн l и l¢ считаются разрешенными, если главный максимум в дифракционной картине для одной длины волны совпадает по своему положению с первым дифракционным минимумом в том же порядке для другой длины волны. Две монохроматические линии одинаковой интенсивности на таком расстоянии друг от друга дают суммарный контур с двумя максимумами, провал между которыми составляет около 20 % от интенсивности в максимумах (рис.3.15). Благодаря провалу такой контур воспринимается как двойная спектральная линия.

 

Рис.3.15

 

Если такой критерий выполняется, то на основании формулы (3.41) можно написать

d (sinq – sinq₀) = (m + 1/N) l,

d (sinq – sinq₀) = m l¢.

Отсюда (m + 1/N) l = m l¢, и следовательно, dl = l¢ – l = l/(Nm),

                                    R = l/dl = Nm.                            (3.43)

Разрешающая способность решетки в спектре данного порядка m определяется только полным числом штрихов N в отличие от дисперсии, которая зависит от периода d.

Р а б о т а 3.1

 

ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

⇐ Предыдущая29303132333435363738Следующая ⇒

Поделиться: