Дифракция на простейших экранах

 

Принципа Гюйгенса — Френеля еще не достаточно для решения дифракционных задач, так как необходимо знать амплитуду A во всех точках замкнутой поверхности S.

Поэтому для решения дифракционных задач используются следующие приближения:

1) экран с отверстием (или отверстиями) будем считать плоским и непрозрачным, тогда в качестве поверхности S выберем поверхность, покрывающую заднюю неосвещенную сторону экрана;

2) примем, что на всех участках этой поверхности, которые прикрыты экраном — A = 0, а на отверстиях амплитуда A = A⁽⁰⁾ определяется законами геометрической оптики, т.е. такая, какая получилась бы в отсутствии экрана. Таким образом, амплитуда в точке P

                          ,                   (3.13)

где интегрирование проводится по площади отверстия S¢.

Данное приближение справедливо, когда размеры отверстий и непрозрачных промежутков между ними велики по сравнению с длиной волны света d >> l и при углах дифракции j << 1. Тогда заметная интенсивность наблюдается при малых углах дифракции. Различие в истинном и вычисленном направлениях колебания вектора  несущественно. Влияние края экрана на поле в отверстии простирается лишь на расстояние порядка длины волны, и при больших размерах отверстия замена истинных значений A в подынтегральном выражении формулы (3.13) на амплитуду A⁽⁰⁾ падающей волны не приводит к заметным ошибкам, так как на большей части поверхности S¢ эти значения совпадают. В этом случае амплитуда колебаний электрического поля A _P не зависит ни от поляризации падающей волны, ни от материала, из которого изготовлен экран. При малых углах дифракции коэффициент наклона K(j) практически не зависит от j и его можно заменить значением при j = 0 и K(j) » K(0) = - ik/2p.

Отметим одно из следствий формулы (3.13) — так называемый принцип Бабине (или теорема Бабине). Рассмотрим распределение света, дифрагированного на дополнительных экранах, т.е. на экранах, у которых отверстия одного точно совпадают с непрозрачными частями другого, и наоборот. Пусть A_1P и A_2P — комплексные амплитуды, когда только один из экранов помещен на пути между источником и точкой наблюдения P. Тогда, поскольку A_1P и A_2P можно представить в виде интегралов (3.13) по отверстиям, а отверстия в дополнительном экране располагаются так, что полностью «открывают» весь волновой фронт

                                 ,                          (3.14)

где A_0P — амплитуда колебаний, созданных источником в точке P, если бы никаких экранов не было бы.

Из принципа Бабине можно вывести два заключения. Если A_1P = 0, то A_2P = A_0P, т.е. в точках, где интенсивность при наличии первого экрана равна нулю, в присутствии лишь другого экрана она будет такой же, как и в отсутствии экранов. Далее, если A_0P = 0, то A_2P = - A_1P, т.е. в точках, где A_0P = 0, фазы A_1P и A_2P различаются на p, а интенсивности одинаковы. Так, например, если точечный источник света изображается объективом, амплитуда световых колебаний в плоскости изображений повсюду равна нулю, за исключением мест, находящихся в непосредственной близости от изображения P¢ источника. Распределения интенсивности от дополнительных экранов одинаковы (I₁ = I₂) всюду, за исключением мест вблизи P¢.

Рассмотрим дифракцию сферической волны на экране с отверстием произвольной формы. Амплитуда в отверстии дается формулой: A⁽⁰⁾= . Возьмем за начало декартовой системы координат точку O отверстия, а оси Ox и Oy выберем в плоскости отверстия (рис.3.4). Точка P₀ — центр кривизны сферической волновой поверхности волны находится на оси z. Положение произвольной точки Q(x, y) будем характеризовать вектором . Тогда расстояния от точек P₀ и P до Q равны:

QP₀:       ;

QP:        .

 

 

Рис.3.4

 

Линейные размеры отверстия малы по сравнению с R и r₀ и поэтому разложим s и r¢, стоящие в показателях экспонент  и , в степенные ряды по r/r₀ и r/s.

,

.

В знаменателе подынтегрального выражения (3.13) можно положить  и . Введем следующие обозначения:

,

                 1/L = 1/r₀ + 1/R или L = r₀ R/(r₀ + R).         (3.15)

Величины r₀ и R, входящие в эти формулы, следует считать алгебраическими и по модулю равными соответствующим расстояниям (см. рис.3.4). Для показанных на рис.3.4 положений источника P₀ и точки наблюдения P величины r₀ > 0 и R > 0.

При малых углах q  амплитуда A₀ по модулю совпадает с амплитудой колебаний в точке P в отсутствии экрана. Для плоской падающей волны (r₀ ® ¥, но a₀/r₀ = const) L — расстояние от точки P до экрана.

Тогда интеграл (3.13) можно записать в виде:

                ,         (3.16)

где — волновой вектор дифрагированной волны.

Таким образом, задача о дифракции света на непрозрачном экране сводится к вычислению интеграла (3.16). Вычисления упрощаются, если в (3.16) пренебречь квадратичным слагаемым. В этом случае имеем дело с дифракцией Фраунгофера; если же квадратичным слагаемым пренебречь нельзя, то с дифракцией Френеля. Более простой случай дифракции Фраунгофера представляется в оптике значительно более важным.

Строго говоря, члены второго и более высоких порядков исчезают в предельном случае r₀ ® ¥ и R ® ¥, т.е. когда и источник, и точка наблюдения P находятся в бесконечности. Однако ими можно пренебречь, если

.

Учитывая, что r_max ~ d_^, это условие удовлетворяется, если

                        и ,                 (3.17)

или

                                    1/r₀ + 1/R = 0.                             (3.18)

Условия (3.17) позволяют оценить расстояния, при которых применимо приближение Фраунгофера (сравните с (3.3)). Условие (3.18) означает, что дифракция Фраунгофера имеет место и тогда, когда точка наблюдения P находится в плоскости, параллельной плоскости отверстия, при условии, что точка наблюдения близка к оси z. Здесь следует различать два случая. Если r₀ отрицательно (точка P₀ находится не слева от экрана, как на рис.3.4, а справа), то точка P₀ является центром схождения, а не расхождения падающей волны. Этот случай очень важен для практики, так как осуществляется в плоскости изображений центрированной оптической системы, изображающей точечный источник, расположенный недалеко от оси. Дифракционная картина Фраунгофера образуется в плоскости изображений (дифракция в сходящейся волне изучается в работах 4.3 и 4.4). Если r₀ положительно, то дифракционная картина оказывается мнимой (R < 0) и кажется образованной в плоскости, проходящей через источник P₀. Этот случай имеет место, например, тогда, когда отверстие в экране находится непосредственно перед глазом, или когда установка объектива зрительной трубы соответствует рассматриванию удаленного источника света.

Чтобы составить ясное физическое представление о том, где и как наблюдается дифракционная картина Фраунгофера, рассмотрим нормальное падение плоской волны на экран с отверстием Э1 и сравним две ситуации, показанные на рис.3.5. Можно считать, что дифракция, наблюдаемая в направлении  в очень удаленной точке P (рис.3.5, a), возникла в результате суперпозиции плоских волн, исходящих из каждой точки отверстия в этом направлении. Такие волны будем называть дифрагировавшими.

Если теперь поместить объектив O позади экрана (рис.3.5, б), то весь свет, дифрагировавший в направлении , соберется в фокусе P¢ в фокальной плоскости объектива. Так как длины оптических путей всех лучей, приходящих в P¢ от волновой поверхности дифрагировавших волн, равны, то интерференционные эффекты остаются такими же, как и в первом случае при условии, что объектив так велик, что не вносит дополнительной дифракции. Таким образом, дифракционную картину Фраунгофера можно наблюдать на экране, расположив его либо на большом расстоянии L >> L_Д, либо в фокальной плоскости объектива.

 

Рис.3.5

 

Запишем интеграл (3.16) для дифракции Фраунгофера в виде:

                          ,                   (3.19)

где C — величина, стоящая перед интегралом (3.16). Значение C определяется через величины, связанные с положением источника и точки наблюдения; однако на практике часто удобнее выражать ее через другие величины, например, интенсивности I₀ падающей волны или в центре дифракционной картины.

Из (3.19) следуют некоторые общие свойства дифракционных картин Фраунгофера. При замене в (3.19) k _x на -k _x и k _y на -k _y амплитуда A _P заменится на комплексно-сопряженную . Модуль амплитуды и, соответственно, интенсивность не изменятся. Это означает, что в осесимметричных точках P¢ и P¢¢интенсивности одинаковы: на экране Э2 наблюдается центрально симметричная относительно точки  дифракционная картина от отверстия произвольной формы.

При произвольном поступательном перемещении экрана Э1 координаты точек отверстия меняются: x ® x + x₀, y ® y + y₀ (x₀(t), y₀(t) — координаты точки О), что приводит к появлению фазового множителя в выражении (3.19). Поэтому дифракционная картина при перемещении экрана Э1 не меняется. Это позволяет наблюдать дифракцию на движущихся объектах, например на бегущих звуковых волнах (примером служит лабораторная работа 3.2).

 

⇐ Предыдущая27282930313233343536Следующая ⇒

Поделиться: