Правила сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство. Будем использовать классическое определение вероятности. Предположим, что в данном опыте число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В –– l элементарных событий. Так как А и В – несовместные события, то ни одно из элементарных событий не может одновременно благоприятствовать и событию А, и событию В. Следовательно, событию
А + В будут благоприятствовать k + l элементарных событий. Но

т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказанную теорему с помощью метода математической индукции можно распространить на случай нахождения вероятности суммы попарно несовместных событий А₁, А₂,…, А_к:

Р(А₁ + А₂ + … + А_к)=Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_к).

Следствие 1. Если события А, В, С,…, М образуют полную группу несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Действительно, по теореме о вероятности суммы несовместных событий имеем:

Р(А + В + С + … + М) = Р(А) + Р(В) + Р(С) + … + Р(М).

Так как эти события образуют полную группу, то их сумма представляет собой достоверное событие (т.е наступит хотя бы одно из них); но вероятность достоверного события равна 1, т.е.

Р(А) + Р(В) + Р(С) + … + Р(М) = 1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий А и  равна единице:

Так как события А и  несовместны, то по доказанной выше теореме имеем: . Событие А +  есть достоверное событие, поэтому , что и приводит к соотношению

С помощью доказанной теоремы мы можем справиться со многими задачами.

Пример 1. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если рвется одна астра?

Решение. Обозначим события: А –– «сорвана окрашенная астра»;

А₁ –– «сорвана красная астра»; А₂ –– «сорвана синяя астра»;

Имеем: А = А₁ + А₂; Р(А) = Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) =

Пример 2. В отдел уголовного розыска поступило сообщение, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на автовокзале, к его дверям подошел инспектор уголовного розыска и запретил водителю открывать двери. Тот сообщил водителю, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил водителя, сказав: «Мне достаточно проверить 6 пассажиров и можете ехать дальше!» Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам пройти в кабинет начальника вокзала.

Один преступник был сразу обнаружен. Он назвал сообщников.

Что руководило инспектором: риск, или трезвый расчет?

Решение. Обозначим события:

А –– «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть хотя бы один преступник»;

А _i –– «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть i преступников» (i =1, 2, 3, 4, 5). Тогда:

А = А₁ + А₂ + А₃ + А₄ + А₅.

Ясно, что  Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) + Р(А₄) + Р(А₅).

Имеем:

Значит,  Вероятность того, что среди 6 пассажиров окажется по крайней мере один преступник, оказывается больше .
По–видимому, инспектор умел пользоваться теорией вероятностей.

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l – событию B и m –– одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l – m элементарных событий.

Тогда:

Пример 3. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Обозначим события:

А –– «появление шестерки при бросании первой кости»;

В –– «появление шестерки при бросании второй кости»;

Нам надо найти вероятность события С = А + В.

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Ясно, что  тогда

                      

Упражнения

1. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, а вероятность сделать выстрел на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

2. В денежно–вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого–либо выигрыша на один лотерейный билет?

3. На тридцати жетонах написаны цифры от 11 до 40. Какова вероятность того, что наудачу взятый жетон будет занумерован числом, сумма цифр которого равна 5 или 9?

4. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадания хотя бы одного герба?

5. Военный летчик получил задание уничтожить 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01 , во второй –– 0,008 , в третий –– 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: