Вариационные ряды. Таблицы частот.

Полигон и гистограмма

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называется статистической совокупностью) относительно некоторого качественного и количественного признака, характеризующего эти объекты. Лучше всего произвести сплошное обследование, т.е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разными причинам это сделать невозможно. Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называется соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка.

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. выбор производится случайно.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной Х. Рассмотрим выборку х₁, х₂, …, х _n объема n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения случайной величины Х.

Различные элементы выборки называются вариантами.

Первый этап статистической обработки –– составление так называемого вариационного ряда. Его получают следующим образом: среди чисел х₁, х₂, …, х _n отбирают все различные и располагают их в порядке возрастания:

a₁, a₂, …, a _k,

где a₁ < a₂ < …< a _k.

Следующий этап статистической обработки –– составление эмпирического закона распределения.

Число n _і, показывающее, сколько раз варианта х _і встречается в выборке, называется частотой варианты х _і. Частостью, относительной частотой или долей варианты называется число

.

Частоты и частости называются весами.

Форма записи эмпирического закона распределения зависит от характера изучаемой случайной величины Х.

Пусть Х –– дискретная случайная величина. Наиболее естественной формой эмпирического закона распределения является так называемая таблица частот (относительных частот), в первой строке которой записываются числа вариационного ряда, а во второй –– соответствующие им частоты n _і (относительные частоты w _і). Сумма всех частот равна объему выборки п, а сумма всех относительных частот равна единице.

Пример 1. С помощью журнала посещаемости собраны данные о числе пропущенных занятий по математике (за один семестр) у 25 студентов 1 курса. В итоге получены следующие значения:

2, 5, 0, 1, 6, 3, 0, 1, 5, 4, 0, 3, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, 3, 6, 0, 3, 0, 1.         (1)

Требуется: а) составить вариационный ряд; б) составить таблицу частот; в) составить таблицу относительных частот.

Решение.

а) Выбирая различные варианты из выборки и располагая их в возрастающем порядке, получим вариационный ряд:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

    б) Просматривая исходный статистический ряд (1), находим частоту появления каждого из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (чисел вариационного ряда). Например, число 0 встречается 7 раз, значит, его частота равна 7. Найдя таким же образом остальные частоты, получим следующую таблицу частот:

 

Варианта х і	0	1	2	3	4	5	6
Варианта n і	7	4	3	5	2	2	2

 

    в) Найдем относительные частоты:

Получим следующую таблицу относительных частот:

 

 

Варианта х і	0	1	2	3	4	5	6
Относительная частота w і

 

Рассмотрим теперь другой случай –– когда величина Х является непрерывной случайной величиной. Вместо обычного (дискретного) вариационного ряда составляют интервальный вариационный ряд: находят минимальную и максимальную варианты выборки и весь промежуток между ними разбивают на полуинтервалы . Рекомендуется количество полуинтервалов k выбирать по формуле Стерджерса

k = 1 + 1,4 lnn.

Длина полуинтервала равна

.

Получается интервальный вариационный ряд:

 …

(і = 1, …, k).

Затем подсчитывают число вариант выборки, попавших в каждый из полуинтервалов, вычисляют относительные частоты числа вариант в каждом полуинтервале. Если при этом некоторое х _k выборки совпадает с граничной точкой между промежутками, то его относят к правому промежутку.

Таблица, в которой дана система полуинтервалов, указаны частоты или относительные частоты –– числа вариант в каждом полуинтервале, называется интервальной таблицей частот или относительных частот.

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где х _і –– варианты выборки, n _і –– соответствующие им частоты. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где х _і –– варианты выборки и w _і –– соответствующие им относительные частоты.

Пример 2. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:

 

Варианта х і	1	2	3	5
Относительная частота w і	0,4	0,2	0,3	0,1

Решение. Отложим на оси абсцисс варианты х _і, а по оси ординат –– соответствующие им относительные частоты w _і. Соединив точки  отрезками прямых, получим искомый полигон (рис. 81).

 

 

Рис. 81

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные полуинтервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность частоты). Площадь частичного і–го прямоугольника равна  –– сумме частот вариант, попавших в і–й полуинтервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки п.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные полуинтервалы длины , а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты). Площадь частичного і–го прямоугольника равна  –– относительной частоте вариант, попавших в і–й полуинтервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Пример 3. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала і	Частичный интервал хі – хі+1	Сумма частот вариант частичного интервала пі
1 2 3	0 – 2 2 – 4 4 – 6	20 30 50

 

Решение. Найдем относительные частоты:

Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина полуинтервала  = 2:

Построим на оси абсцисс данные частичные полуинтервалы. Проведем над этими полуинтервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над полуинтервалом  проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.

Искомая гистограмма относительных частот изображена на рис. 82.

 

 

Рис. 82

 

Упражнения

1. Заданы выборки из генеральной совокупности значений дискретной случайной величины Х. Требуется: а) составить вариационный ряд;
б) составить таблицу частот; в) построить полигон частот.

    1) 2, 1, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 3;

    2) 3, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 3, 1, 3, 4, 2, 1;

    3) 4, 4, 1, 2, 1, 4, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 1, 1, 2, 4, 4;

    4) 4, 3, 4, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 3, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 4.

2. Построить полигон частот следующего распределения:

 

х і	1	3	5	7	9
ni	10	15	30	33	12

 

3. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х –– размера обуви:

    39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

Составить вариационный ряд, таблицу частот и построить полигон частот.

4. Выборка задана в виде распределения частот:

 

х і	4	7	8	12
ni	5	2	3	10

 

Найти распределение относительных частот и построить полигон относительных частот.

5. Для изучения распределения веса новорожденных были собраны данные для 100 детей и составлена следующая интервальная таблица относительных частот:

 

Интервалы веса (кг)	Частота (wi)
1,0 – 1,5 1,5 – 2,0 2,0 – 2,5 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 4,0 –4,5 4,5 – 5,0	0,01 0,02 0,05 0,15 0,35 0,28 0,12 0,02

 

Построить гистограмму полученной интервальной таблицы относительных частот.

6. В результате 50 независимых измерений некоторой величины получены данные:

    2,2; 5,3; 3,4; 4,5; 5,1; 3,4; 4,3; 2,7; 3,5; 5,8;

    2,3; 4,4; 4,7; 2,1; 4,8; 3,6; 3,5; 4,2; 5,7; 3,7;

    4,2; 3,4; 4,3; 3,4; 4,3; 4,1; 5,3; 4,8; 5,1; 2,4;

    3,7; 4,3; 5,6; 4,5; 3,4; 3,2; 4,6; 3,6; 4,2; 4,1;

    5,5; 4,6; 4,8; 4,5; 4,3; 4,8; 3,9; 3,8; 5,9; 5,1.

Требуется: а) выбрав интервалы 2 – 3; 3 – 4; 4 – 5 и 5 – 6, составить интервальную таблицу относительных частот; б) построить гистограмму.

7. Построить гистограмму распределения коров по проценту жирности молока по данным следующей таблицы:

 

Жирность молока, %	Число коров
3,45 – 3,55 3,55 – 3,65 3,65 – 3,75 3,75 – 3,85 3,85 – 3,95 3,95 – 4,05 4,05 – 4,15 4,15 – 4,25 4,25 – 4,35	1 1 3 4 7 5 2 1 1

 

8. Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

 

Номер интервала і	Частичный интервал хі – хі+1	Сумма частот вариант частичного интервала пі
1 2 3 4 5	10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30 30 – 35	2 4 8 4 2

 

9. Результаты измерения роста 100 студентов приведены в следующей таблице:

 

Рост (см)	154–158	158–162	162–166	166–170	170–174	174–178	178–182	182–186
Число студентов	8	14	20	32	12	8	4	2

 

а) Преобразовать данную таблицу в интервальную таблицу     относительных частот.

б) Выбрав середины интервалов за значения роста, составить дискретную таблицу относительных частот.

10. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в мкм), приведенные в следующей таблице:

 

– 1,752 – 1,256 1,531 – 0,058 0,415 – 0,329 0,318 0,349 – 0,059 – 1,084

– 0,291 1,701 – 0,433 0,248 – 1,382 0,086 – 1,087 – 0,293 – 0,539 0,318

– 0,933 0,634 1,409 – 0,095 0,129 0,130 0,899 – 0,883 – 0,078 0,367

– 0,450 0,720 1,730 – 1,488 – 0,361 – 0,244 1,028 – 0,056 0,229 – 0,992

0,512 0,490 – 0,266 – 0,361 – 0,087 – 0,882 – 1,304 0,757 0,194 0,529

 

Для данной выборки построить интервальную таблицу и гистограмму частот.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: