Взаимно однозначные соответствия

 

Пусть G соответствие между элементами множеств X и Y .

Соответствие называется всюду определенным, если множество
Пр₁G = Х. Если Пр₂G = Y . Если же Пр₂G = Y, то соответствие называют сюръективным, или накрывающим. На рис. 21 а и 21 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия , представленные на рис. 21 в и 21 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 21 г, не всюду определенное.

 

Рис. 21

Соответствие G Ì Х ´ Y называется функциональным, если образом любого элемента из Пр₁G является единственный элемент из Пр₂G. Это означает, что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Например, соответствие, представленное на рис. 21 б не функционально.

Соответствие называется инъективным, если любому элементу из Пр₂G соответствует единственный элемент из Пр₁G. На рис. 21 а изображено инъективное соответствие.

Пусть R — соответствие «Число х в пять раз меньше числа у» между элементами множеств Х = {1, 2, 4, 5, 6} и Y = {10, 5, 20, 13, 25}.

Граф этого соответствия будет таким, как на рис. 22.

Если изменить направление стрелок этого графа на обратное, то получим граф (рис. 23) нового соответствия «Число у в пять раз больше числа х», рассматриваемого между множествами Y и Х.

Это соответствие называется соответствием, обратным соответствию R, и обозначается R^–1.

 

              Рис. 22                                        Рис. 23

 

Определение. Пусть R — соответствие между элементами множеств Х и Y. Соответствие R^–1 между элементами множеств Y и Х называется обратным данному, когда (у, х) Î R^–1 тогда и только тогда, когда (х, у) Î R.

Соответствия R и R^–1 называют взаимно обратными.

Если множества Х и Y числовые, то график соответствия R^–1, обратного соответствию R, состоит из точек, симметричных точкам графика соответствия R относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Действительно, условимся первую компоненту пары любого соответствия R, в том числе и обратного ему соответствия R^–1, считать абсциссой, а вторую — ординатой. Пусть (а, b) Î R, тогда (b, а) Î R^–1. Но точки с координатами (а, b) и (b, а) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 24).

 

 

Рис. 24

Определение. Если графики соответствий Р Ì Х ´ Y и S Ì Х ´ Y дополнительные множества в Х ´ Y (т.е. они не пересекаются, а их объединение является Х ´ Y), то такие соответствия называются противоположными.

Пусть перед началом сеанса в фойе кинотеатра собираются зрители.
У каждого зрителя есть билет, на котором указано его место в зрительном зале.
С математической точки зрения явление, которое нас интересует, можно сформулировать так: каждому зрителю соответствует место в зрительном зале, или — при помощи билетов устанавливается соответствие между множеством зрителей и множеством мест в зрительном зале.

Пусть после звонка, когда расселись все зрители, оказалось, что все места в зале заняты и никто не сидит на подставном кресле, т.е. на каждом месте сидит зритель и для каждого зрителя нашлось место. В этом случае говорят, что между множеством мест в зрительном зале и множеством зрителей установлено взаимно однозначное соответствие.

Определение. Пусть даны два множества Х и Y. Соответствие между элементами множеств Х и Y, при котором каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y, и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу из множества Х, называется взаимно однозначным.

Таким образом, соответствие между X и Y называется взаимно однозначным (или биективным), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пример 1. В каждой школе каждому классу соответствует классный журнал. Это соответствие является взаимно однозначным.

Пример 2. Дан треугольник АВС (рис. 25). А₁С₁ — средняя линия треугольника. Пусть Х — множество точек на отрезке А₁С₁, Y — множество точек на АС.

 

 

Рис. 25

 

Произвольную точку х отрезка А₁С₁ соединим с вершиной В треугольника отрезком прямой линии и продолжим его до пересечения с АС в точке y. Поставим в соответствие точке х точку у, построенную таким образом. При этом между множествами Х и Y будет установлено взаимно однозначное соответствие.

Действительно, нетрудно убедиться в том, что каждой точке отрезка А₁С₁ соответствует одна и только одна точка отрезка АС и, наоборот, каждая точка отрезка АС поставлена в соответствие одной и только одной точке отрезка А₁С₁.

Определение. Множества Х и Y называются эквивалентными, или равномощными, если между ними каким–либо способом можно установить взаимно однозначное соответствие.

Эквивалентность двух множеств обозначается так: X ~ Y.

Пример, приведенный выше, показывает, что множество классов школы и множество классных журналов являются равномощными.

Если Х и Y — равномощные множества, то говорят также, что множества Х и Y имеют одинаковую мощность. Понятие мощности является обобщением понятия количества. Это распространение понятия количества на бесконечные множества.

Множество, имеющее ту же мощность, что и множество N натуральных чисел, называется счетным. Его элементы можно пронумеровать, поставить во взаимно однозначное соответствие с числами натурального ряда. Например, множество натуральных чётных чисел счетно. Установить взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством N всех натуральных чисел можно следующим образом:

Вообще, любое бесконечное подмножество множества N счетно.

Рассмотрим рисунок 26.

 

 

Рис. 26

 

Множество точек отрезка эквивалентно множеству точек полупрямой. Грубо говоря, в отрезке столько же точек, сколько их в луче.

Числовая разметка рисунка показывает, что оба эти точечные множества эквивалентны множеству всех действительных чисел между нулем и единицей включительно.

У последнего множества есть особо название: континуум. Всякое эквивалентное ему множество называется континуальным (говорят также, что оно имеет мощность континуума).

Тот же рисунок показывает, что множество всех положительных действительных чисел континуально. Небольшим усложнением схемы нетрудно обосновать, что таким будет и множество всех действительных чисел вообще.

Может возникнуть вопрос: как соотносятся между собой множество всех действительных чисел между нулем и единицей включительно и множество N всех натуральных чисел?

Оказывается, хотя оба множества и бесконечны, но эти бесконечности разные. Эти множества неэквивалентны.

На числовой оси легко показать (рис. 27), как из множества всех действительных чисел между нулем и единицей включительно можно выделить подмножество, эквивалентное множеству N натуральных чисел: пусть единице соответствует единица, двойке — одна вторая, тройке — одна третья и т.д. Пронумеровать все точки единичного отрезка невозможно.

 

 

Рис. 27

 

Соотношение между этими бесконечными множествами — множество натуральных чисел и множеством всех действительных чисел между нулем и единицей включительно — примерно такое же, как между двумя конечными множествами, например, с шестью и десятью элементами. Из десяти всегда можно выделить шесть, а из шести десять — никогда. Мощность счетного множества меньше мощности континуального.

 

Упражнения

 

1.   Пусть Х — множество рек Беларуси, Y — множество городов Беларуси. Соответствие R между элементами Х  и Y задано так: «Река х протекает через город у»; х Î Х, y Î Y. Назовите соответствие R^–1, обратное R.

2.   Между элементами множеств Х = {1, 3, 7, 9, 10} и Y = {1, 2, 4, 5, 8} задано соответствие R = {(1, 1), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (7, 5), (9, 4), (9, 8),
(10, 1), (10, 8)}.

              Задайте соответствие R^–1, обратное R и постройте в одной системе координат графики соответствий R и R^–1.

3.   Даны графики соответствий Р и S (рис. 28). Можно ли утверждать, что соответствия Р и S взаимно обратные.

 

 

Рис. 28

 

4.   Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 29).

 

 

Рис. 29

 

5.   Между множествами А = {а, b, с, d} и В = {1, 3, 4, 5} установили разные соответствия (рис. 30). Какие из них являются взаимно однозначными?

 

 

Рис. 30

 

6.   Даны два произвольные неравные отрезки АВ и С D. Показать, что между множествами точек отрезка АВ и множеством точек отрезка CD можно установить взаимно однозначное соответствие.

7.   Приведите примеры трех множеств, равномощных множеству
X = {m, n, k}.

8.   Докажите, что множество точек полуокружности равномощное множеству точек ее диаметра.

9.   Докажите, что множество точек двух концентрических окружностей разных радиусов равномощные.

10. Докажите, что множество натуральных чисел и множество положительных четных чисел равномощные.

11. Выделите из множества натуральных чисел подмножества, равномощные ему.

 

Функции

На практике мы часто встречаемся с зависимостями между разными величинами.

Изучение зависимости между объектами состоит в том, что между ними устанавливается соответствие. Так, например, путь тела зависит от времени, т.е. каждому моменту времени соответствует определенное значение пройденного пути; площадь круга зависит от его радиуса, т.е. каждому кругу радиуса r соответствует определенное число pr², равное площади круга.

Рассмотрим несколько соответствий, заданных графами (рис. 31), между элементами двух множеств X = {a, b, c, d, k, e} и Y = {1, 3, 5, 7, 9}.

 

Рис. 31

 

Можно заметить, что первые два соответствия обладают следующей особенностью: каждому элементу множества Х соответствует единственный элемент множества Y .

Определение. Соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу х множества Х соответствует единственный элемент у множества Y, называется функцией, заданной на множестве X со значением в множестве Y.

Пусть, например, X –– множество людей на земном шаре, Y –– множество целых чисел. Каждому человеку поставим в соответствие его возраст. При этом каждому человеку будет соответствовать некоторое целое число. Получим функцию, заданную на множестве всех людей со значениями в множестве целых чисел.

Функция обозначается при помощи латинской (а иногда греческой) буквы, например, буквы f.

Элемент х Î Х называется аргументом или независимой переменной функции f, а элемент y Î Y, соответствующий элементу х, называется значением функции f и обозначается f(х).

Множество Х называют областью определения функции f и обозначают D(f).

Множество, состоящее из всех значений функции f, называют областью (множеством) значений функции f и обозначают Е(f).

Заметим, что если у Î Е(f), то существует по крайней мере один такой
х Î D(f), что f(х) = у.

Функцию f, заданную на множестве X со значениями в множестве Y, обозначают также следующим образом:

Две функции f и g называют равными (пишут f = g), если f и g равны как множества, т.е. для любых х, у (х, у) Î f тогда и только тогда, когда (х, у) Î g. Следовательно, функции f и g равны тогда и только тогда, когда D(f) = D(g) и
f(х) = g(х) для каждого х из D(f).

Функции называются также отображениями. Если функция f задана на паре множеств Х и Y, т.е. f Ì Х ´ Y, то говорят, что f есть отображение из Х в Y . Если при этом X = D(f) и Е(f) Ì Y, то говорят, что f есть отображение множества Х в Y .

Если X = D(f) и Y = Е(f), то говорят, что f есть отображение множества
Х на Y .

Функции, заданные на некотором числовом множестве Х и принимающие числовые значения, называют числовыми функциями числового аргумента.

Функция считается заданной, если выполнены следующие два условия:

1) заданы два числовых множества Х и Y;

2) задан способ (правило), при помощи которого каждому числу х Î Х ставится в соответствие единственное число y Î Y.

В зависимости от того, каким способом это возможно сделать, существуют различные способы задания функции.

Чаще всего функцию задают формулой, которая показывает, какие математические действия необходимо выполнить над каждым значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Например, если длина ребра куба равна х см, а объем куба у см³, то формула у = х³ задает функцию, областью определения которой будет множество положительных действительных чисел.

Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим. Этот способ задания функции является наиболее важным в математике, поскольку при таком способе задания функции можно вычислить любые значения функции с любой точностью и удобно исследовать свойства функции.

Необходимо отметить, что в некоторых случаях функция задается в области определения не одной формулой, а некоторыми разными формулами для различных частей области определения.

Например, функция

задана аналитическим способом на множестве действительных чисел при помощи трех разных формул.

Если функция задана формулой и не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Пусть функция задана формулой . Область определения данной функции состоит из тех значений х, при которых имеет смысл выражения , т.е. областью определения является промежуток .

Функцию можно задать и табличным способом, который заключается в том, что функциональная зависимость описывается при помощи таблицы, содержащей некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Табличный способ широко используется при экспериментальных исследованиях. Однако табличный способ задания функции имеет свои недостатки. По таблице можно найти значения функции только для тех значений аргумента, которые имеются в таблице.

 

Упражнения

 

1. На рис. 32 изображены соответствия между элементами множеств
X = {a, b, c, d} и Y = {1, 2, 3, 4}. Какие из этих соответствий являются функциями, а какие нет? Объясните, почему.

 

 

Рис. 32

 

2. Соответствие f задано следующим образом: «Каждому двузначному числу соответствует сумма его цифр». Убедитесь, что это соответствие является функцией. Укажите область определения и множество значений функции. Вычислите значение функции f(43), f(56), f(83). При каких значениях аргумента значение функции равно 2?

3. Рассмотрите таблицы:

а)     

х	–2	–1	0	1	2
у	2	1	0	1	2

 

б)     

х	–2	–1	0	1	2
у	4	1	0	1	4

 

    Являются ли заданные таблицами соответствия функциями? Если да, то попробуйте задать эти функции формулами и укажите их область определения.

4.     

Рис. 33

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: