Классическое определение вероятности. Рассмотрим следующие события: поражение и не поражение мишени в результате. Определение 1. События А, В, С называются несовместными

Рассмотрим следующие события: поражение и не поражение мишени в результате произведенного выстрела (испытания); частые и редкие звуковые сигналы в слуховой части телефонной трубки в результате набора на диске некоторого номера; выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы; зеленый, желтый и красный цвета светофора к моменту прибытия пешехода к перекрестку.

Определение 1. События А, В, С называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

Этому определению отвечают события в каждом из приведенных примеров.

Определение 2. События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при этом же испытании.

Так, например, если в урне имеются белые и черные шары, причем шары каждого цвета имеют свою нумерацию, то, вынимая один шар из урны, мы регистрируем совместные события: цвет шара и его номер.

Пусть имеем события:

А₁ –– появление 1 очка при бросании игральной кости,

А₂ –– появление 2 очков при бросании игральной кости,

А₃ –– появление 3 очков при бросании игральной кости,

А₄ –– появление 4 очков при бросании игральной кости,

А₅ –– появление 5 очков при бросании игральной кости,

А₆ –– появление 6 очков при бросании игральной кости.

Ясно, что при бросании игральной кости хотя бы одно из упомянутых событий непременно произойдет, т.е. А₁ + А₂ + А₃ + А₄ + А₅ + А₆ = U. Введем понятие «полная группа событий».

Исторически первым было классическое определение вероятности.

Определение 6 (классическое определение вероятности).

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событие А.

Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р –– первая буква французского слова probabilite –– вероятность).

В соответствии с определением

                                            (1)

где  –– число элементарных событий, благоприятствующих событию А,
 –– число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.

Пример 1. Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию А будут элементарные события А₃ и А₆ (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность любого события А подчинена условиям

Прежде всего легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих событий  удовлетворяет неравенствам  и, значит,  Следовательно,

2. Вероятность достоверного события равна единице:

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все  элементарных событий, т.е.  и, следовательно,

3. Вероятность невозможного события равна нулю:

В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е.  откуда:

Упражнения

1. Какие из следующих пар событий являются несовместными:

1) а) попадание, б) промах при одном выстреле; 2) нарушение в работе: а) первого, б) второго мотора летящего самолета;
3) а) выигрыш, б) проигрыш шахматиста в шахматной партии;
4) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: а) четным, б) кратным трем; 5) выигрыш по одному билету денежно–вещевой лотереи: а) мотоцикла, б) фотоаппарата ?

2. Парашютист совершил прыжок. Это испытание имеет два исхода: парашют раскрылся; парашют не раскрылся. Являются ли эти события

равновозможными ?

13. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листе нового календаря:

а) соответствуют 29 числу месяца;

б) кратно пяти;

в) менее восьми, если в году 365 дней ?

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться: