Элементы теории вероятностей и

Математической статистики

Случайные события и предмет теории вероятностей

Будем называть опытом, или испытанием, всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.

Для большей ясности приведем некоторые примеры. Так, например, опытом является стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости (кубик с нанесенным на каждую грань числом очков –– от одного
до шести).

Возможный результат, исход опыта называется событием. Так при стрельбе по мишени событиями будут попадание и промах, при бросании монеты –– герб или цифра на ее стороне, выпадение того или иного числа очков (например, шестерки) при бросании игральной кости.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т.д.

Проведем (мысленно) следующий опыт: открытый стакан с водой перевернем вверх дном. Если этот опыт осуществлять не в космосе, а, например, дома, то вода выльется. Это достоверное событие.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании игральной кости, извлечение белого шара из урны, содержащей только белые шары, и т.д. Достоверное событие будем
обозначать .

Наоборот, событие называется невозможным, если в данном опыте оно не может произойти.

Произведено два выстрела по мишени. «Произошло три попадания» –– невозможное событие.

Бросаем камень вверх. Камень остался висеть в воздухе –– невозможное событие.

Невозможное событие будем обозначать .

Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

Охотник стреляет в зайца. Попал. Но мог и не попасть. Попадание – случайное событие.

Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого, собственно, и должно начинаться знакомство с теорией вероятностей: какие задачи ставит перед собой эта дисциплина?

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные события и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Операции над событиями

Определение 1. Суммой событий А и В называется третье событие
А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Пусть, например, испытание заключается в стрельбе двух стрелков по мишени (каждый стрелок делает по одному выстрелу). Событие А –– попадание в мишень первым стрелком, событие В –– попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.

Если мы условимся наступление события обозначать знаком «+», а
ненаступление –– знаком «–», то полную характеристику события А + В будет давать следующая таблица:

Аналогично определяется сумма трех, четырех и т.д. событий. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Рассмотрим пример: А –– «входящий в подъезд человек –– мужчина»,

B –– «входящий в подъезд человек темноволосый»,

C –– «входящий в подъезд человек –– темноволосый мужчина».

Очевидно, что событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и В.

Определение 2. Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В.

Полную характеристику события АВ дает следующая таблица:

Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Определение 3. Событием, противоположным событию  называется событие , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает .

Противоположное событие можно определить следующей таблицей:

В дальнейшем мы будем часто использовать запись А = В, означающую равенство между событиями А и В. Уточним смысл этой записи.

Определение 4. События А и В называются равными, если всякий раз, когда наступает одно из них, наступает другое.

Равные события могут иметь различные по форме словесные описания. Например, событие «не все учащиеся данного класса успешно написали контрольную работу по математике» и «по крайней мере один из учащихся данного класса не написал контрольную работу по математике» равны, хотя выражены различными оборотами речи.

Упражнения

1. Событие А –– «попадание в мишень первым выстрелом», событие В –– «попадание в мишень вторым выстрелом». В чем состоят события
А + В, А × В?

2. Событие А –– «лотерейный выигрыш автомобиля»,

    Событие В –– «лотерейный выигрыш стиральной машины»,

    Событие С –– «лотерейный выигрыш телевизора»,

    В чем состоит событие А + В + С ?

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: