Тема 2.2 Растяжение и сжатие

 

Растяжение и сжатие. Продольные силы и их эпюры. Гипотезы плоских сечений. Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса; эпюры нор­мальных напряжений.

Продольные и поперечные деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука. Модуль продольной упругости. Коэффициент продольной деформации (коэффициент Пуассона). Жесткость сечения и жесткость бруса при растяже­нии и сжатии. Определение осевых перемещений поперечных сечений бруса.

Испытание материалов на растяжение и сжатие при статическом нагру-жении. Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали и ее характерные па­раметры: пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности (вре­менное сопротивление). Характеристика пластических свойств: относительное остаточное удлинение при разрыве, относительное поперечное сужение. Закон разгрузки и повторного нагружения. Понятие об условном пределе текучести. Диаграммы растяжения хрупких материалов. Механические свойства пластич­ных и хрупких материалов при сжатии.

Коэффициент запаса прочности при статической нагрузке по пределу те­кучести и по пределу прочности. Основные факторы, влияющие на выбор тре­буемого коэффициента запаса. Допустимое напряжение.

Расчеты на прочность: проверка прочности, определение допускаемой на­грузки (проверочные расчеты); определение требуемых размеров поперечного сечения бруса (проектные расчеты).

Статически неопределимые системы с элементами, работающими на рас­тяжение (сжатие). Уравнения статики и уравнения перемещений. Температур­ные напряжения в статически неопределимых системах. Начальные (монтаж­ные) напряжения в статически неопределимых системах.

 

Методические указания

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор - продольная сила N_z.

Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью O_z), то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по одну сторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня (рис. 40).

Одна и та же продольная сила N_z при действии на различные части стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак N_z зависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 41,а), и она отрицательна, если вызывает сжатие (рис. 41,б)

                         Рисунок 40                                                             Рисунок 41

Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся к эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный из какого-либо податливого материала (например, резины), на боковую поверхность которого нанесена система продольных и поперечных рисок (рис 42,а). Эта ортогональная система рисок остается таковой и после приложения растягивающей нагрузки (рис 42,б). Поскольку поперечные риски являются следами поперечных сечений на поверхности стержня и остаются прямыми и перпендикулярными к оси стержня то это свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений (Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон приходим к выводу, что деформация растяжения стержня сводится к одноосному растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечении стержня возникают лишь нормальные напряжения  (рис. 43), индекс z у которых опускаем. Ортогональность продольных и поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных напряжений т в поперечных и продольных сечениях стержня.

                             Рисунок 42                                                     Рисунок 43

Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), то приходим к уравнению e=const, из которого ввиду однозначности связи s и e (для линейно-упругого материала это - закон Гука: s = Еe) вытекает, что

s = const.

Решая совместно уравнения получим, что N_z=sA или

s = N_z / A.

Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси

Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении Dl, называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало по сравнению с его первоначальной длиной l(Dl<<l). Тогда относительная продольная деформация будет равна

e = Dl / l

Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия)

e = s / E

где Е - модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряжения определяются по формуле s = N_z /A (в нашем случае N_z=P), для абсолютной деформации получаем

Dl = N_z / EA

Произведение EA принято называть жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EA.

Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (см. рис 44), а при сжатии - увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения Db (на рис 44 Db<0) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а e'=Db/b - относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом m, являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

e' = - me

Как известно, для изотропного материала 0 £ m £1/2.

Рисунок 44

             

Рисунок 45

Напряженное состояние при растяжении стержня является одноосным (рис 45). Поскольку на поперечных и продольных площадках касательные напряжения не возникают, то эти площадки являются главными. Причем в случае

растяжения s₁ =s >0, s₂=s₃=0, а в случае сжатия s₁=s₂=0, а s₃=s<0.

Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под углом a, определяются по формулам для упрощенного плоского напряженного состояния.

[ 1, гл.2, §2.1 – 2.6]

Практическая работа №1

Определение продольной и поперечной деформации при растяжении или сжатии.

 

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вид нагружения бруса называется растяжением и какой сжатием?

2. Что такое продольная и поперечная деформация бруса при растяжении (сжатии) и какова зависимость между ними?

3. Что называется продольной силой в сечении бруса?

4. Что такое эпюры продольных сил и нормальных напряжений? Как они строятся?

5. Что такое модуль продольной упругости материала? В каких единицах выражается?

6. Как записывается и как формулируется закон Гука при растяжении (сжатии)?

7. Что называется допускаемыми напряжениями материала? Каково его значение в вопросе прочности материала?

8. Что называется коэффициентом запаса прочности?

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: