Графический метод решения

 

Выбираем масштаб сил, например 10 кН в 1 см., и строим силовой треугольник (рисунок 34).

Из произвольной точки а проводим отрезок аb, равный и параллельный в принятом масштабе приложенной внешней силе F. Из конца и начала отрезка ab проводим прямые, параллельные соответственно стержням АВ и ВС до их пересечения. Получаем силовой треугольник. Так как узел под действием силы F и реакций связей находится в равновесии, то силовой треугольник должен быть замкнут. Все стрелки в нем направлены в одну сторону по обходу треугольника. Это направление определяется направлением известной силы F. Стороны треугольника дают величины и направления реакций S₁ и S₂ стержней АВ и ВС.

Измерив в принятом масштабе длины сторон треугольника, получим числовые значения усилий в стержнях.

ас = 4,4 см.;

bc = 7,5 см.

 

Рисунок 34

Мысленно перенося направление найденных реакций на соответствующие стержни схемы конструкции, определяем, что реакция S₁ направлена от узла, а это значит, что стержень работает на растяжение; реакция S₂ направлена к узлу, и, следовательно, стержень сжат.

Вторую, третью и четвертую задачи контрольной работы следует решать после изучения тем «Пара сил» и «Плоская система произвольно расположенных сил». Необходимо помнить, что моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на тело. Плечом силы называется перпендикуляр, проведенный из точки на линию действия силы. Момент силы относительно точки считается положительным, если он вращает тело в направлении часовой стрелки, отрицательным, если против часовой стрелки, и равен нулю, если линия действия силы проходит через точку, относительно которой определяют момент данной силы.

Следует твердо усвоить условия равновесия плоской системы произвольно расположенных сил и уметь составлять для такой системы уравнения равновесия в трех формах:

 

Σ Х = 0	Σ Х = 0	Σ МА = 0
Σ МА = 0	Σ Y = 0	Σ МВ = 0
Σ МВ = 0	Σ М = 0	Σ МС = 0

 

Для плоской системы параллельных сил – в двух формах:

 

Σ М_А = 0             Σ М = 0

Σ М_В = 0           Σ Y = 0

 

Особое внимание должно быть уделено: изучению основных трех типов опор балочных систем и умению определять их реакции.

Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и статики сооружений.

 

Последовательность решения задачи:

1 Изобразить балку вместе с нагрузками.

2 Выбрать расположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось у направив перпендикулярно оси х.

3 Произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом α, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки.

4 Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль выбранных осей координат.

5 Составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6 Проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи.

 

Пример 2

Определить опорные реакции консольной балки (рисунок 35а).

 

Решение

Освобождаем балку от связей, действие которых заменяем их реакцией: вертикальной Y_А, горизонтальной Х_А и реактивным моментом m_А (рисунок 35б). Равномерно распределенную нагрузку заменяем ее равнодействующей Q = q · а, линия действия которой проходит через середину участка, на котором она распределена. Наклонную силу F разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие:

 

F_x = F cos α; F_у = F sin α

Составим три уравнения равновесия:

 

Σ МА = 0	– mA + Q ·  + Fy · a + m = 0;
Σ МА = 0	– mA – Q ·  + YA · a + m = 0;
Σ Х = 0	XA – Fx = 0;
Σ Y = 0	YA – Q – Fy = 0.

 

Решая уравнения, получаем:

 

m_A = 80,28 кН · м; Y_А = 27,07 Кн; Х_А = 7,07 кН.

 

Проверка:

 

27,07 – 20 – 7,07 = 0,

 

следовательно, реакции определены верно. Положительные значения всех найденных реакций говорят о том, что направление их выбраны правильно.

 

Пример 3

Определить опорные реакции балки, лежащей на двух опорах (рисунок 36 а)

 

 

 

Рисунок 36

Опорные реакции балки показаны на рисунке 36 б. Реакция шарнирно подвижной опоры R_А направлена перпендикулярно горизонтальной опорной плоскости. Реакция опоры В, шарнирно неподвижной, неизвестна ни по величине, ни по направлению. Она представлена в виде двух ее составляющих Y_В и X_В.

Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей:

 

Q = q · С,

линия действия которой проходит через середину участка КВ балки.

Наклонную силу F разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие:

 

F_x = F cos α = 10 cos 30˚ = 10 · 0,866 = 8,66 кН

F_y = F sin α = 10 sin 30˚ = 10 · 0,5 = 5 кН

Составим три уравнения равновесия:

 

Σ МА = 0	+ Fy · a + Q (a + b + ) – YB (a + b + c) – m = 0;
Σ МА = 0	– Fy (b + c) – Q ·  + RA (a + b + c) – m = 0;
Σ Х = 0	XB + Fx = 0;
Σ Y = 0	RA – Fy – Q + YB = 0.

 

Решая уравнения, получаем:

 

Y_B = 6,9 кН; R = 10,1 кН; X_B = – 8,66 кН

 

Проверка:

 

10,1 – 5 – 12 + 6,9 = 17 – 17 = 0,

следовательно, реакции определены верно.

Отрицательное значение горизонтальной составляющей реакции опоры В говорит о том, что принятое ее направление следует изменить на противоположное.

 

Пример 4

Определить давление балки АВ на шарнир А и натяжение троса 1. Силой тяжести балки АВ пренебречь.

 

Решение

Рассмотрим равновесие балки АВ, на которую действует сосредоточенная сила F, приложенная в конце балки точка В (рисунок 37, а). На балку наложены две связи: шарнир А и торс 1. Мысленно оборвав трос 1, заменяем действие троса, на балку реакцией троса Т, направленной к точке подвеса D. Направление реакции шарнира А заранее указать нельзя. Поэтому покажем две взаимно перпендикулярные составляющие этой реакции. Направим ось х вдоль оси балки по горизонтали вправо, а ось у – по вертикали вверх. Составляющие реакции Y_А и Х_А направим вдоль осей координат в сторону их возрастания.

Теперь балку можно рассматривать как свободное твердое тело, находящееся в равновесии под действием четырех сил, из которых величины трех сил Т, Y_А и Х_А неизвестны (рисунок 37, б). Следовательно, задача является статически определенной.

Составим уравнения равновесия балки в проекциях на оси Х и Y и уравнение моментов относительно точки А. Выбор точки А в качестве центра моментов удобен, так как моменты двух неизвестных по величине сил Y_А и Х_А относительно точки А равны нулю и в уравнение моментов войдет лишь одна неизвестная

 

Σ Х = 0	ХА + Т cos 30˚ = 0	(1)
Σ Y = 0	YА + Т sin 30˚ – F = 0	(2)
Σ МА = 0	F · 5 – Т · АК = 0	(3)

Из уравнения (3) находим

.

Из Δ АКD находим

 м.

Тогда:

 кН.

Из уравнений (1) и (2) находим

 

X_A = – T cos 30˚ = – 25 · 0,866 = – 21,65 кН;

Y_A = F – T sin 30˚ = 10 – 25 · 0,5 = – 2,5 кН.

 

Знак минус, стоящий в выражениях Х_А и Y_А указывает, что направление составляющих реакции шарнира А противоположно тому, которое было указано на рисунке 32, б, т.е. Х_А направлена по горизонтали влево, Y_А – по вертикали вниз.

Искомые давления балки на связи направлены противоположно соответствующим реакциям связей и равны им по модулю, т.е. горизонтальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 21,65 и направлена по горизонтали направо, вертикальная составляющая силы, действующей на шарнир, равна 2,5 кН и направлена вверх, натяжение троса равна 25 кН.

 

Пятую задачу (а, б) контрольной работы следует решать после изучения темы «Центр тяжести», твердо усвоить понятие статического момента. При определении координат центра тяжести площади сложного сечения следует помнить, что центр тяжести площади прямоугольника или квадрата располагается в точке пересечения их диагоналей, центр тяжести площади треугольника лежит на пересечении медиан и отстоит от основания его на расстоянии 1/3 h, где h – высота треугольника; центр тяжести площади круга совпадает с его геометрическим центром. При определении координат центра тяжести сложного сечения, составленного из стандартных профилей проката, следует применить таблицы сортаментов, в которых указаны размеры и координаты центра тяжести различных прокатных профилей: сталь прокатная условная равнополочная ГОСТ 8509-72; сталь прокатная условная неравнополочная ГОСТ 8510-72; сталь прокатная – балки двутавровые ГОСТ 8239-72; сталь прокатная – швеллеры ГОСТ 8240-72.

 

Пример 5

Определить координаты центра тяжести площади сечения размеры сечения даны в миллиметрах (рисунок 38).

 

 

Решение

Так как сечение симметрично относительно вертикальной оси, то Х_с = 0.

Разбиваем площадь сложного сечения на простые площади:

I – прямоугольник 20 × 140 с центром тяжести С₁;

II – прямоугольник 20 × 60 с центром тяжести С₂;

III – два треугольника 20 × 40 с центром тяжести С₃, С₃';

IV – прямоугольник 20 × 100 с центром тяжести С₄.

 

Вычислим необходимые данные для определения центра тяжести сечения: площади отдельных геометрических фигур, координаты их центров тяжести и статические моменты площадей относительно оси Х, которую проводим через точку С₄.

 

А­₁ = 14 × 2 = 28 см²; у₁ = 8 см; Sx₁ = A₁y₁ = 28 · 8 = 224 см³;

А­₂ = 2 × 6 = 12 см²; у₂ = 4 см; Sx₂ = A₂y₂ = 12 · 4 = 48 см³;

2А­₃ = 2 ×  = 8 см²; у₃ =  · 2 + 1 = 1,67 см; Sx₃ = A₃y₃ = 8 · 1,67 = 13,36 см³;

А­₄ = 2 × 10 = 20 см²; у₄ = 0; Sx₄ = A₄y₄ = 0.

Площадь всего сечения

 см².

Статический момент площади всего сечения

 см³.

Определим положение центра тяжести сечения

 см.

Таким образом точка С имеет координаты (0; 42). Покажем положение точки С на рисунке 33.

 

Пример 6

Определить координаты центра тяжести сложного сечения, составленного из прокатных профилей (рисунок 39) – швеллера № 20 и двутавра № 14.

 

Решение

Так как сечение симметрично относительно оси Y, то Х_с = 0.

Разбиваем площадь сложного сечения на простые площади:

I – швеллер № 20 с центром тяжести С₁;

II – двутавр № 14 с центром тяжести С₂.

По ГОСТ 8240-72 для швеллера № 20 принимаем

А₁ = 23,4 см²; Z₀₁ = 2,07 см; h₁ = 200; b₁ = 76; d₁ = 5,2.

По ГОСТ 8239-72 для двутавра № 14 принимаем

А₂ = 17,4 см²; h₂ = 140; b₂ = 73; d₂ = 4,9.

 

 

 

 

 

Принимаем точку С₂ за начало координат и определяем координаты центров тяжести простых площадей.

Точка С₁ 

 

 

Точка С₂  

 

 

Статический момент составного сечения относительно оси х:

 

Sx = A₁y₁ + A₂y₂ = 23,4 · 9,07 + 17,4 · 0 = 212,2 см³.

 

Площадь составного поперечного сечения

 

А = А₁ + А₂ = 23,4 + 17,4 = 40,8 см².

 

Ордината центра тяжести составного сечения

 

 см.

 

Итак, точка С имеет координаты (0; 52). Покажем положение точки С на рисунке 39.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: