Задача 3. Центр тяжіння плоскої фігури

Теоретична довідка. У полі земного тяжіння сили тяжіння окремих частинок тіла спрямовані до центра Землі. Оскільки розміри частинок тіл малі у порівнянні з радіусом Землі, то ці сили можна вважати паралельними між собою. Рівнодійна цих паралельних сил є вагою тіла, а центр цієї системи паралельних сил називають центром тяжіння тіла. Для абсолютно твердого тіла його центр тяжіння є незмінною відносно тіла точкою, положення якої не залежить від орієнтації тіла у просторі. Центр тяжіння тіла є геометричною точкою, яка в деяких випадках може перебувати за межами тіла, наприклад, центр тяжіння кільця.

Для однорідного тіла положення центра тяжіння не залежить від його фізичних властивостей, а залежить лише від його геометричної форми та розмірів. Зокрема, для тіла, що має форму тонкої пластинки однакової товщини, центром тяжіння вважають центр тяжіння площі, область якої є плоскою фігурою (рис.1.6).

 

 

Рис. 1.6. Центр тяжіння тонкої пластини

 

Положення центра тяжіння плоскої фігури визначається двома координатами , які обчислюють за формулами:

,                    (3.1)

де  - площа фігури;  - статичні моменти площі фігури відносно осей x і y, які з урахуванням співвідношень (3.1) дорівнюють:

      (3.2)

Осі, що проходять через центр тяжіння фігури, називають центральними осями. Статичні моменти площі фігури відносно цих осей, що видно з формул (3.2), дорівнюють нулеві.

Для визначення центра тяжіння складної фігури її розділяють на прості частини (рис. 1.7), для кожної з яких відома площа  та положення центра тяжіння  Тоді статичні моменти всієї фігури відносно осей x і y згідно з формулами (3.2) дорівнюють:

            (3.3)

 

 

Рис. 1.7. Центр тяжіння складної геометричної фігури

 

Координати центра тяжіння складної фігури обчислюють за формулами (3.1), які набувають вигляду:

(3.4)

Для найпростіших фігур їх площі та координати центра тяжіння наведені в табл.1.1.

 

 

Таблиця 1.1

 

Форма фігури	Площа перерізу А	Координати центра тяжіння
Прямокутник
Прямокутний трикутник
Півкруг
Чверть круга

Приклад 3.1. Для плоскої фігури, зображеної на рис. 1.8, визначити положення центра тяжіння при R = a ; r =0,5a. Числові дані для розрахунку: а = 15 см.

 

Рис. 1.8. Складна плоска фігура

 

План розв’язування задачі

1. Зобразити фігуру в масштабі та вказати числові значення її розмірів.

2. Розбити фігуру та прості геометричні частини, для яких відомі площі та положення центрів тяжіння.

3. Вибрати систему координат, відносно якої будемо знаходити центр тяжіння всієї фігури.

4. У вибраній системі координат записати координати центрів тяжіння простих частин і обчислити їх площі.

5. Визначити положення центра тяжіння заданої складної фігури.

Розв ’язування

1. Зобразимо в масштабі задану складну фігуру при а=15 см. (рис. 1.9).

2. Оскільки надалі для визначення центра тяжіння складної фігури будемо користуватися методом від’ємних площ, то розділяємо її на такі прості геометричні частини: квадрат 1 зі стороною 2а = 30 см; рівнобедрений прямокутний трикутник 2 з катетом а = 15 см; четвертину круга 3 з радіусом R = 15 см і півкруг 4 з радіусом r =7,5 см (рис. 1.9). На цьому рисунку також показані положення центрів тяжіння цих частин , знайдені за допомогою табл. 1.

3. Вибираємо систему декартових осей x і y, відносно яких будемо визначати положення центра тяжіння складної фігури.

 

Рис. 1.9. Схема для визначення центра тяжіння

складної плоскої фігури

 

Якщо фігура має вісь симетрії, то доцільно одну з осей координат направити вздовж цієї осі. Тоді центр тяжіння буде лежати на цій осі і в цьому випадку достатньо визначити тільки одну координату центра тяжіння відносно осі, що не є віссю симетрії. Оскільки задана складна фігура осей симетрії немає, то положення центра тяжіння знаходимо в осях x і y, показаних на рис. 1.8.

4. Визначаємо площі окремих частин та координати їх центрів тяжіння  відносно вибраних осей x, y. Для цього використаємо дані таблиці та рис. 1.8. Отримаємо:

а) для квадрата 1:

б) для рівнобедреного прямокутного трикутника 2:

в) для четвертини круга 3:

г) для півкруга 4:

5. Визначаємо положення центра тяжіння складної фігури. Для цього обчислимо координати  центра тяжіння за формулами (3.4). Оскільки з квадрата 1 вирізані: трикутник 2, четвертина круга 3 і півкруг 4, то за методом від’ємних площ величини  входять в наступні формули зі знаком “-”. Отже:

 

Показуємо положення точки С з координатами  та  на рис. 1.9.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: