|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Постановка задач исследований
Чем определенней поставлена задача, тем эффективнее ее реше- ние. Задача сформулирована, если в ней определены причины поста- новки задачи и представлены идеи ее разрешения. Выбор объекта исследований На основе постановки задачи выбирается объект исследования. Это обусловлено тем, что одна и та же задача может быть решена раз- ными путями. Например, одна и та же задача повышения мощности двигателя может быть решена двумя способами: 1) увеличением рабо- чего объема двигателя; 2) разработкой и применением турбонаддува. Сбор априорной информации В качестве априорной информации используют результаты предыдущих исследований, литературные источники, патентные све- дения. Если объект исследуется впервые, или априорной информации недостаточно, проводят предварительные эксперименты. Анализ и обобщение фактов При анализе и обобщении фактов отвечают на следующие во- просы: 1) каковы теоретические взгляды на решение поставленной задачи; 2) какие рабочие гипотезы характерны для аналогичных исследо- ваний; достоинства и недостатки предыдущих работ; 3) общие совпадающие выводы в предыдущих исследованиях и каковы противоречия в них; 4) что можно использовать в исследованиях из методик смежных областей; 5) какие переменные были приняты в качестве факторов, а какие – откликов; 6) пределы варьирования факторов; 7) какого вида математические модели были ранее использованы; 8) метрологическая обеспеченность. Выдвижение гипотез Рабочая гипотеза – логически обоснованные предположения для объяснения какого-либо процесса, которые после проверки могут быть истинными или ложными. Наиболее эффективными рабочими гипотезами являются те, которые основаны не только на строгих ло- гических предположениях (они трудно поддаются математическому описанию), но и на основании теоретических предпосылок. Такие ги- потезы позволяют заранее прогнозировать существенные стороны функционирования объекта и проводить исследования более целена- правленно и эффективно. Уточнение условий функционирования объекта Рабочие гипотезы могут выдвигаться и при уточнении условий функционирования объекта. На этом этапе формируется информация о работе объекта, окончательно оценивается реальность решения по- ставленных задач и конкретизируется постановка задач исследований. Выбор откликов Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположе- нию, зависящая от факторов. Выбор откликов (параметров оптимиза- ции или критериев оптимизации) является одним из главных этапов предпланирования эксперимента. Требования, предъявляемые к отклику [10]: Первое требование: отклик должен быть количественным, зада- ваться числом. Множество значений, которые может принимать от- клик, называют областью его определения. Области определения мо- гут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограни- ченными. Если отклик не может оцениваться количественно, пользуются ранжированием. При этом отклику присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранго- вый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку. Второе требование – однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно значение отклика, при этом обратное неверно: одному и тому же зна- чению параметра могут соответствовать разные наборы значений фак- торов. Третье требование к отклику – возможность действительно эффективной оценки функционирования объекта. Оценка эффектив- ности функционирования объекта как системы может осуществляться как для всей системы, так и ряда подсистем, составляющих данную систему. Однако необходимо учитывать возможность того, что опти- мальность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации не исключает возможности брака. Это означает, что попытка добиться оптимума с учетом некоторого локального или промежуточного па- раметра оптимизации может оказаться неэффективной. Четвертое требование к параметру оптимизации – требование универсальности или полноты. Под универсальностью отклика пони- мают его способность всесторонне охарактеризовать объект исследо- ваний. Например, технологические параметры не в полной мере уни- версальны (они не учитывают экономику). Универсальностью обла- дают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые стро- ятся как функции от нескольких частных параметров. Пятое требование: желательно, чтобы отклик имел физический смысл, был простым и легко рассчитываемым. Требование физического смысла связано с последующей интер- претацией результатов эксперимента. Не представляет труда объяс- нить, что значит минимум энергопотребления, максимальная произ- водительность, максимум содержания ценного компонента. Такие па- раметры оптимизации имеют ясный физический смысл, но для них может не выполняться, например, требование статистической эффек- тивности. В этом случае отклик преобразуют. Преобразование, например, типа arcsin делает отклик статистически эффективным
Вторая часть требования также существенна. Для процессов разделения термодинамические параметры оптимизации более уни- версальны. Однако на практике ими пользуются мало: их расчет до- вольно трудоемок. В научных исследованиях, при выборе откликов, задачи реша- ются чаще всего с несколькими откликами, поэтому необходимо ми- нимизировать количество откликов (в лучшем случае до одного). На практике чаще всего приходится учитывать несколько вы- ходных параметров. Например, при производстве резиновых и пласт- массовых изделий приходится учитывать физико-механические, тех- нологические, экономические, художественно-эстетические и другие параметры. Регрессионные модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций не- возможно. Как правило, оптимизируют одну функцию отклика, наиболее важную с точки зрения исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. При этом следует исследовать возможность уменьшения количества выходных параметров. Для этого используют корреляционный анализ, в ходе которого между всевозможными па- рами параметров определяют коэффициент парной корреляции, кото- рый является в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Если обозначить один пара- метр через у1 , а другой – через у2 , и число опытов, в которых они бу- дут измеряться, - через N так, что u = 1, 2,..., N, где u – текущий номер опыта, то коэффициент парной корреляции r вычисляется по формуле N _ _ å( y1u - y1 )(y2u - y2 )
1 2
где _ _ y1 и y2 – средние арифметические соответственно для у1 и у2.
u =1 y1u
u=1 y2u
Значения коэффициента парной корреляции могут лежать в пре- делах от -1 до +1. Если при увеличении одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет знак плюс, а если уменьша-
к единице, тем
сильнее значение одного параметра зависит от того, какое значение принимает другой, т. е. между такими параметрами существует линей- ная связь, и при изучении процесса можно рассматривать только один из них. Следует отметить, что коэффициент парной корреляции как мера тесноты связи имеет четкий математический смысл только при линейной зависимости между параметрами и в случае их нормального распределения. Значимость коэффициента парной корреляции определяют сравнением его расчетного значения с табличным значением r (при- ложение В табл. В.1). Табличное значение коэффициента парной кор- реляции r определяют по числу степеней свободы f = N - 2 и вы-
бранному уровню значимости, например, равному 0,05. Если расчет- ное значение r не меньше табличного, то гипотеза о корреляционной линейной связи подтверждается. При высокой корреляции любой из двух анализируемых пара- метров (откликов) можно исключить из рассмотрения как не содер- жащий дополнительной информации об объекте исследования. Ис- ключить следует тот параметр, который труднее измерить, или тот, физический смысл которого менее ясен. Обобщенный параметр (отклик) оптимизации Из многих откликов, определяющих объект, не всегда возможно выбрать один, наиболее важный. В этом случае множество откликов обобщают в единый количественный признак, что представляет опре- деленные трудности. Каждый отклик имеет свой физический смысл и размерность. Для объединения различных откликов, необходимо ввести для каждо- го отклика некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть од- нотипной для всех объединяемых откликов – это делает их сравни- мыми. Выбор шкалы – не простая задача, которая зависит от качества априорной информации об откликах, а также от той точности, с кото- рой определяют обобщенный признак. После построения для каждого отклика безразмерной шкалы, необходимо выбрать правила комбинирования исходных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует. Ниже при- ведены несколько способов построения обобщенного показателя. Простейшие способы построения обобщенного отклика Допустим исследуемый объект характеризуют n откликов, каж- дый из которых измеряется в N опытах. При этом Yui – значение u-го
отклика в i-ом опыте (i = 1, 2, ...N) . Каждый из откликов Yu имеет
свой физический смысл и, как правило, разную размерность. Выпол- няют простейшее преобразование: набор данных для каждого Yu при-
водят в соответствие с самым простым стандартным аналогом – шка- лой, имеющей только два значения: 0 – брак, неудовлетворительное качество, 1 – годный продукт, удовлетворительное качество. Затем приступают ко второму этапу – обобщению откликов. Так как каждый преобразованный частный отклик принимает только два значения 0 и 1, необходимо чтобы и обобщенный отклик принимал одно из этих двух возможных значений: значение 1, когда все частные отклики в этом опыте приняли значение 1 и значение 0, если хотя бы один из откликов обратился в 0.
В этом случае обобщенный отклик определяют по формуле
Yi = n Õ y ui ,
где Yi – обобщенный отклик в i -ом опыте; n – количество частных
откликов; Õ u =1 – произведение частных откликов y1i , y2i ,... y ni . К недостаткам вышеописанного способа построения обобщен- ного отклика следует отнести невысокую точность. Второй способ получения обобщенного отклика применяют в случае, когда для каждого из частных откликов известен «идеал», к которому нужно стремиться. Известно много способов введения мет- рики, задающей «близость к идеалу». Понятие «ввести метрику» означает указать правило определения расстояния между любыми па- рами объектов из интересующего нас множества. Введем еще одно обозначение y uo – наилучшее («идеальное»)
значение u-го отклика. Тогда разность y ui - y uo можно рассматривать
как некоторую меру близости к идеалу. Однако использовать эту раз- ность при построении обобщенного отклика невозможно, так как она имеет размерность соответствующего отклика, что препятствует их объединению. Для перехода к безразмерным значениям, вышеуказан- ную разность делят на желаемое значение
y uo Если в некотором опыте все частные отклики совпадут с идеа- лом, то Y примет значение 0. Это и есть то значение, к которому нуж- но стремиться. Чем ближе Yi к нулю, тем лучше. В данном способе необходимо определить, что считать нижней границей, если верхняя равна нулю. К недостаткам способа следует отнести нивелирование частных откликов. Все они входят в обобщенный отклик на равных правах. На практике же различные показатели как правило неравноправны. Устранить этот недостаток можно введением некоторого веса аи n æ y - y ö2 Y i = åa u ç ui uo ÷ , u=1 è y uo ø
причем
åa u = 1 и a u u=1 f 0 . Для того, чтобы проранжировать отклики по степени значимо- сти и найти соответствующие веса, можно использовать методы экс- пертных оценок. Шкала желательности Выше были рассмотрены простейшие способы построения обобщенного показателя. Пользуясь системой предпочтений, можно получить более содержательную шкалу вместо шкалы классификации с двумя классами. К наиболее распространенным способам следует отнести способ построения обобщенного отклика по обобщенной функции желатель- ности Харрингтона. Натуральные значения частных откликов преоб- разуют в безразмерную шкалу желательности или предпочтительно- сти. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение – установление соответствия между физическими и пси- хологическими параметрами. Под физическими параметрами пони- мают отклики, характеризующие функционирование исследуемого объекта в т.ч. и эстетические, а под психологическими параметрами – чисто субъективные оценки экспериментатора желательности того или иного значения отклика. Для получения шкалы желательности, используют таблицу со- ответствия между отношениями предпочтения в эмпирической и чис- ловой системах (табл. 3.1).
Таблица 3.1 Стандартные отметки на шкале желательности
В табл. 3.1. представлены числа, соответствующие некоторым точкам кривой (рис. 3.2), которая описывается уравнением d = e-e- y или d = exp[- exp(- y)], где ехр – принятое обозначение экспоненты. По оси ординат обозначены значения желательности, изменяю- щиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записан- ные в условном масштабе.
Рис. 3.2. Функция желательности
Началом отсчета 0 по этой оси является значение, соответству- ющее желательности 0,37 (минимальное значение, соответствующее желательности «удовлетворительно»). Кривую желательности исполь- зуют как номограмму. Пример 1. Исследуется процесс и среди откликов частным от- кликом является выход реакции y1 , естественные границы которого заключены между 0% и 100%. Допустим, что 100% соответствует на шкале желательности единице, а 0% – нулю, тогда на оси абсцисс по- лучим две точки: 0 и 100 (рис. 3.2). Выбор других точек зависит от ря- да причин: сложившейся в начальный момент ситуации, требований к результату, возможностей экспериментатора и др. В этом случае область хороших результатов (0,80 – 0,63 по шкале желательности) имеет границы 57 – 70%. Пример 2. Другая ситуация складывается при исследовании синтеза нового вещества, которого до сих пор не удавалось получать в количествах, достаточных для идентификации. При выходе менее 2% нет способа идентифицировать продукт. Любой выход выше 10% – превосходен (рис.3.2.). Здесь выход про- дукции обозначен через y2 . В примерах рассмотрены одинаковые отклики – выхода реакции с границами измерения от 0% до 100%. Однако, это не всегда возмож- но. Стоит включить такие отклики, как качество материала, и границы становятся неопределенными. В этих случаях для частных откликов устанавливают границы допустимых значений. Ограничения могут быть односторонними в виде yu ³ ymin и двусторонними в виде
ymin £ y u £ ymax . Следует учитывать, что ymin соответствует отметке на шкале желательности d = 0,37 , а значение ymax устанавливается на
основании опыта и ситуации исследователя. Обобщенная функция желательности После выбора шкалы желательности и преобразования частных откликов в частные функции желательности приступают к построе- нию обобщенной функции желательности, которая описывается фор- мулой
D = n Õ d и ,
где D – обобщенная желательность; du – частные желательности. Способ задания обобщенной функции желательности таков, что если хотя бы одна желательность du = 0, то обобщенная функция бу- дет равна нулю и она будет равна единице (D = 1) в случае, когда du =1 . Обобщенная функция весьма чувствительна к малым значениям частных желательностей. Пример: при определении пригодности материала, обладающего рядом свойств для использования его в заданных условиях материал считается непригодным, если хотя бы один частный отклик не удо- влетворяет требованиям. Например, если при определенных темпера- турах материал становится хрупким и разрушается, то, как бы ни бы- ли хороши другие свойства, этот материал не может быть применим по назначению. Способ задания базовых отметок шкалы желательности, пред- ставленный в табл. 3.1, один и тот же, как для частных, так и для обобщенных желательностей. Несмотря на то, что обобщенная функция желательности явля- ется некоторым абстрактным построением, она обладает важными свойствами: адекватность, статистическая чувствительность, эффек- тивность. Обобщенная функция желательности является количествен- ным, однозначным, единым и универсальным показателем качества исследуемого объекта и поэтому может использоваться в качестве критерия оптимизации. Выбор факторов Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента. Требования, предъявляемые к факторам Факторы должны быть управляемыми. Это означает, что задан- ное значение фактора можно поддерживать постоянным в течение всего опыта. Точность замеров факторов должна быть достаточной. Степень точности определяется областью варьирования фактора. Например, если в длительных процессах, измеряемых многими часами, минуты не учитывают, то в быстрых процессах приходится учитывать доли секунды. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять факто- ром, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать другие факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п. Необходимость введения слож- ных факторов возникает при желании представить динамические осо- бенности объекта в статической форме. Например, требуется найти оптимальный режим подъема температуры в реакторе. Если относи- тельно температуры известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, т. е. градиент. Факторы должны быть совместимы. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Факторы должны быть не зависимыми друг от друга. Это озна- чает возможность задания фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Выбор области экспериментирования. Определение базовой точки. Определение интервалов (шагов) варьирования На следующем этапе предпланирования эксперимента опреде- ляют границы области экспериментирования, они задаются либо принципиальными ограничениями, которые нельзя нарушать (полом- ка рабочего органа, повреждение обрабатываемого материала), техни- ко-экономическими ограничениями (стоимость сырья, агрегата, про- должительность процесса и др.), либо условиями в каждом конкрет- ном случае. Обычно область экспериментирования представляют как гипер- параллелепипед (N-мерный параллелепипед), внутри которого разме- щаются экспериментальные точки x iН £ x i £ x iВ , где xiН и xiВ – ниж- ний и верхний уровни варьирования факторов i=1...n. Уровень фактора – фиксированное значение фактора относи- тельно начала отсчета. В планировании эксперимента натуральные значения факторов кодируют посредством линейного преобразования координат факторного пространства с переносом начала координат в нулевую точку и выбором масштабов по осям в единицах интервалов варьирования факторов.
x i = X i - X i0
, (3.1) i где xi – кодированное значение i-го фактора (безразмерная величина); DX i – шаг i-го фактора в размерных величинах; X i 0 – основной уро-
вень i-го фактора в размерных величинах; i-го. X i – натуральное значение
При выборе области варьирования факторов особое внимание уделяют выбору основного (нулевого) уровня. Как правило, целью экспериментального исследования является достижение и поддержа- ние экстремальных показателей процесса (максимальная производи- тельность, мощность двигателя, твердость покрытия, минимальные затраты (расход топлива) и потери). Если есть сведение о наилучшей точке, в которой объект имеет экстремум, то ее принимают в качестве основной (нулевой), а границы области принимают на равном удале- нии от нее. Если координаты наилучшей точки неизвестны, но извест- на область, в которой объект исследования функционирует достаточ- но хорошо, то в качестве основной (базовой) точки выбирают центр этой области. Визуально основная нулевая (базовая) точка в n – мерном про- странстве выглядит как геометрический центр гиперпараллелепипеда и основной уровень i-го фактора равен [9]
= x iВ - x iН 2
. (3.2) После выбора нулевой точки определяют интервалы (шаги) ва- рьирования факторов. Интервал варьирования фактора – половина размаха варьирования фактора. Размах (область) варьирования фак- тора – разность между максимальным и минимальным натуральными значениями фактора в данном плане. Интервалом варьирования Dx i i-го фактора называется некото- рая величина, прибавление которой к основному уровню дает верх- ний, а вычитание – нижний уровень фактора :
x i = x i0 + Dx i , x iÍ = x i0 - Dx i . (3.3)
Интервалы варьирования выбирают таким образом, чтобы зна- чения факторов, соответствующие уровням +1 и –1 были достаточно отличимы от значения, соответствующего нулевому уровню. Поэтому значение интервала варьирования должно быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. Интервал ва- рьирования Dx i не может быть меньше ошибки фиксирования факто- ров (определяется точностью приборов), иначе верхний и нижний уровень будут неразличимы. Однако следует помнить, что чрезмерное увеличение интервалов варьирования может привести к снижению эффективности поиска оптимума. Шаг варьирования для каждого фактора выбирают таким, чтобы приращение величины отклика при реализации шага можно было выделить на фоне шума при небольшом числе параллельных опытов. При выборе интервала варьирования необходимо учитывать ко- личество уровней варьирования факторов в области эксперимента. От количества уровней зависят объем эксперимента и эффективность оп- тимизации. Зависимость количества опытов от числа уровней факторов имеет вид N = Sn , (3.4)
где N – количество опытов; S – количество уровней факторов; n – ко- личество факторов. Минимальное количество уровней равно двум. Это верхний и нижний уровни, обозначаемые в кодированных координатах через +1 и –1. Варьирование факторов на двух уровнях используют в отсеива- ющих экспериментах, на стадии движения в область оптимума и при описании объекта исследования линейными моделями. Однако такое количество уровней недостаточно для построения регрессионных мо- делей второго порядка. С увеличением количества уровней повышается чувствитель- ность эксперимента, однако при этом возрастает число опытов. При построении моделей второго порядка выбирают планы второго поряд- ка с 3 или 5 уровнями.
3.2. Понятие плана эксперимента и его критериев оптимальности Планирование эксперимента – процедура выбора числа и усло- вий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения по- ставленной задачи с требуемой точностью. Планирование эксперимента предусматривает: - стремление к минимизации общего количества опытов; - одновременное варьирование всеми переменными, определяющими исследуемый объект, по специальным правилам – алгоритмам; - использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора; - выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные ре- шения после каждой серии экспериментов. Планом эксперимента называется совокупность точек x1, x2. ... xN в области экспериментирования с соответствующим числом m1, m2 ... mN параллельных наблюдений. Множество точек x1, x2. ... xN называют спектром плана экспери- мента. Планированием эксперимента называют построение оптималь- ного плана эксперимента при решении задачи минимизации показате- лей точности регрессионного анализа или максимализации какого- нибудь показателя эффективности плана. Показатели точности или эффективности при этом называются критериями оптимальности пла- на эксперимента. Основной целью проведения активного эксперимента является получение уравнения регрессии, адекватно описывающей зависимость функции отклика y от независимых существенных факторов хn. Задача регрессии заключается в определении неизвестных ко- эффициентов уравнения регрессии периментальных данных. b 0 , bi , bij , bii на основании экс- b 0 – свободный коэффициент (член) уравнения регрессии; bi – коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие ли- нейные эффекты; bij – коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие
эффекты двойного взаимодействия факторов; bii – коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие не- линейные эффекты. Метод решения задачи регрессии называется регрессионным анализом. Регрессионный анализ, как и всякий статистический метод при- меним при определенных допущениях: 1) ошибки в разных опытах не коррелированны; 2) в каждом опыте математическое ожидание случайной вели- чины ошибки равно 0; 3) в каждом опыте ошибка имеет нормальное распределение (ЗНР), т.е. значения отклика являются независимыми, нормально рас- пределенными случайными величинами с дисперсией одинаковой во всех опытах. Такую дисперсию называют дисперсией воспроизводи- мости эксперимента S 2 .
Все критерии и принципы планирования делят на 3 группы [10]: 1) критерий оптимальности планов (КОП), связанный с точно- стью оценки коэффициентов регрессии; 2) КОП, связанный с точностью оценки регрессионной модели; 3) КОП, связанный со стратегией планирования эксперимента и с вычислительным алгоритмом обработки результатов наблюдений. 1 группа критерия оптимальности планов D-оптимальный план минимизирует из множества планов обобщенную дисперсию наилучших линейных оценок коэффициентов регрессии; А-оптимальный план минимизирует среднюю дисперсию наилучших линейных оценок; Е-оптимальный план минимизирует максимальную дисперсию наилучших линейных оценок коэффициентов регрессии. Ортогональный план позволяет получить независимые друг от друга оценки коэффициентов регрессии. Если ортогональный план А-оптимален, то он одновременно D - и Е – оптимален. 2 группа критерия оптимальности планов 1) G – оптимальный план минимизирует максимально возмож- ную дисперсию предсказания в области экспериментирования. 2) Q-оптимальный план минимизирует среднюю дисперсию предсказания в области экспериментирования. 3) Критерий оптимальности – минимум дисперсии предсказа- ния в точке экстремума. 4) Ротатабельный план обеспечивает одинаковую дисперсию предсказания для точек факторного пространства, равноудаленных от центра плана в любом направлении. 5) Униформный план – это ротатабельный план, в котором в не- которых областях вокруг центра плана дисперсия предсказания посто- янна. Из множества непрерывных планов D-оптимальный план, ми- нимизируя обобщенную дисперсию оценок коэффициентов регрессии, одновременно является оптимальным в точности предсказания значе- ния отклика, поэтому его считают одним из наиболее предпочтитель- ных. 3 группа критерия оптимальности планов 1) Критерий оптимальности – насыщенность плана. План называется насыщенным, если число точек его спектра равно числу оцениваемых коэффициентов регрессионной модели. 2) Композиционность плана. План называется композиционным, если он состоит из отдельных частей (композиций), последовательное добавление которых к главной из них позволяет получить самостоя- тельные планы для решения задач регрессии по возрастающей слож- ности. Требование композиционности необходимо, когда исследова- тель не знает заранее какой окажется адекватная регрессионная мо- дель: полиномом первого, второго или более высоких порядков. 3) Критерий оптимальности – возможность разбиения плана на ортогональные блоки. План называется ортогональным, если его мат- рицу базисных функций можно разбить на ортогональные блоки (подматрицы). Разбиение производят, когда эксперимент настолько продолжителен, что систематически могут меняться некоторые фак- торы (изменение сырья, влажности воздуха и т.д.). 4) Критерий оптимальности – простота вычислений и нагляд- ность геометрической интерпретации оценок коэффициентов регрес- сии. 5) Критерий оптимальности – возможность преобразования не- зависимых факторов и перехода к другой системе базисных функций для оценивания новой регрессионной модели адекватной функции от- клика без производства дополнительных наблюдений откликов. 6) Критерий оптимальности – нечувствительность результатов обработки к грубым ошибкам наблюдения отклика. 7) Критерий оптимальности – нечувствительность к ошибкам установки уровней управляемых факторов.
3.3. Планирование активного эксперимента по планам первого порядка Планами первого порядка называются такие, которые позволяют провести активный эксперимент для оценки коэффициентов полино- минальной регрессионной модели при членах, содержащих только первые степени факторов. Выбор модели Под моделью понимают функцию отклика. Наглядное представ- ление о функции отклика дает ее геометрический аналог – поверх- ность отклика. В случае, когда количество факторов больше двух, геометрическая наглядность теряется, т.к. поверхность отклика пере- ходит в абстрактное многомерное пространство. Пространство, в котором строится поверхность отклика, назы- вают факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладывают значения факторов и параметра оптимиза- ции (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Факторное пространство при двух факторах
Для двух факторов можно не рассматривать поверхность откли- ка в трехмерном пространстве, а ограничиться двумерным сечением поверхности отклика. Для этого проводят сечения поверхности откли- ка плоскостями, параллельными плоскости х10х2 (рис. 3.4) и получен- ные в сечениях линии проецируют на эту плоскость. Каждая линия в двумерном сечении соответствует определенному постоянному зна- чению функции отклика. Такие линии называют линиями равного от- клика. Требования к модели: адекватность и относительная простота. Адекватность – способность предсказывать направление и зна- чения дальнейших опытов с определенной точностью. То есть, рас- считанное по модели значение отклика не будет отличаться от факти- ческого больше, чем на некоторую заранее заданную величину. На первоначальном этапе исследования, когда экспериментатор не знает заранее, какую часть поверхности отклика он исследует,
можно ограничиться линейной по факторам регрессионной моделью
y = b0 + åbi x i . (3.5) 1
Этой моделью можно ограничиться, если область эксперимен- тирования очень мала.
Рис. 3.4. Двумерное сечение поверхности отклика
В противном случае или если накоплен достаточный объем ин- формации используют неполные квадратичные по факторам регресси- онные модели вида
y = b0 + åbi x i 1
+ åb i j x i x j 1 . (3.6)
При планировании активного эксперимента для получения ре- грессионных моделей используют алгебраические полиномы. Как правило, используют следующие полиномы. Полином первой степени
y = b0 + åbi x i 1
+ åb i j x i x j , (3.7) 1
где у – функция отклика (параметр оптимизации); x i , x j – факторы;
b 0 – свободный член уравнения регрессии; bi – коэффициенты урав-
нения регрессии, характеризующие линейные эффекты; bij – коэффи-
циенты уравнения регрессии, характеризующие эффекты двойного взаимодействия факторов. Полиномы первой степени имеют минимальное количество ко- эффициентов и позволяют предсказывать оптимальное направление улучшения параметра оптимизации. Однако в области близкой к оп- тимуму эффективность полиномов первой степени снижается. Поэто- му в ходе планирования активного эксперимента на первом этапе ис- следований используют полиномы первой степени, и затем, когда они станут неэффективными, переходят к полиному более высокой степе- ни. Полином второй степени
y = b + åb x + åb x x +åb x2 , (3.8)
1 ij i j 1 ii i
где bii – коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие не- линейные эффекты.
3.3.1. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 2n Полный факторный эксперимент(ПФЭ) – эксперимент, спек- тром плана которого являются все возможные неповторяющиеся со- четания уровней числа n независимых управляемых факторов. Если количество уровней каждого фактора S = 2, а число неза- висимых факторов n, то такой план называется ПФЭ типа 2n. Напри- мер, при одинаковом количестве уровней число точек спектра плана ПФЭ 24, в соответствии с формулой (3.4) составит N = 16 точек. Реализация полных факторных экспериментов типа 2n позволя- ет получить линейные модели, описываемые полиномом первой сте- пени (3.7). Условия эксперимента записывают в виде таблицы, которую называют матрицей планирования эксперимента. В табл. 3.2 показана матрица планирования полного факторного эксперимента типа 22.
Матрица плана ПФЭ типа 22 Таблица 3.2
Для упрощения заполнения матрицы планирования, значения уровней факторов обозначают соответствующими знаками цифрой 1. С учетом взаимодействия двух факторов х1 и х2 табл. 3.2 примет вид (табл. 3.3)
Матрица плана ПФЭ типа 22 Таблица 3.3
Каждый столбец матрицы планирования называют вектор- столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Например, табл. 3.2 со- держит два вектора-столбца независимых переменных х1 и х2 и один вектор-столбец параметра оптимизации у. Точки спектра плана ПФЭ 2n геометрически представляют со- бой в N-мерном нормированном фактором пространстве: при n = 2 – координаты вершин квадрата с центром в начале ко- ординат (рис. 3.5); при n = 3 – координаты вершин куба с центром в начале коор- динат (рис. 3.6); при n > 3 координаты вершин гиперкуба (N-мерный аналог ку- ба) с центром в начале координат. Центрами этих фигур является основной уровень, а каждая сто- рона равна двум интервалам +1 и – 1 (рис. 3.5 и рис. 3.6).
Рис. 3.5. Геометрическое отображение плана ПФЭ 22 в факторном пространстве
Номера вершин квадрата и куба соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная этими фигурами, называется областью эксперимента. По аналогичному принципу рас- полагаются экспериментальные точки при количестве факторов n > 3.
Рис. 3.6. Геометрическое отображение плана ПФЭ 23 в факторном пространстве
Известны три способа построения матриц плана ПФЭ 2n, осно- ванные на переходе от матриц меньшей к матрицам большей размер- ности. Первый способ. При добавлении нового фактора каждая комби- нация уровней предыдущего (исходного) фактора записывается два- жды, в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора (табл. 3.4). Во втором способе применяют правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении уровней исходной матрицы получают дополнительный столбец произведения х1 х2, затем повто- ряют исходный план, а у столбца произведений знаки меняют на об- ратные. Способ применим для построения матриц любой размерно- сти, однако он сложнее, чем первый. Таблица 3.4 Способ построения матрицы спектра плана ПФЭ 2n
Третий способ основан на чередовании знаков. В первом столб- це знаки меняют поочередно, во втором столбце они чередуются через два раза, в третьем – через четыре, в четвертом – через восемь и т.д. по степеням двойки. Свойства плана ПФЭ 2n План ПФЭ 2n относится к наиболее эффективным планам при построении линейных моделей. Эффективность обусловлена свой- ствами, вытекающими из правил построения матрицы.
Первое свойство – симметричность относительно центра экспе- римента следует из правила: алгебраическая сумма элементов векто- ра-столбца каждого фактора равна нулю
å x ij = 0 , j=1 где i = 1, 2, ..., n – номер фактора, N – количество опытов. Второе свойство – условие нормировки следует из правила: сумма квадратов элементов каждого столбца равна количеству опытов
2 ij j=1
Третье свойство – ортогональность матрицы планирования следует из правила: сумма почленных произведений любых двух век- тор-столбцов матрицы равна нулю
åxijx uj = 0 , j=1
где i ¹ j, а также i, u = 0,1,...n .
Четвертое свойство – ротатабельность следует из правила: точки в матрице планирования подбираются таким образом, что точ- ность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направ- ления. Таким образом, точки ПФЭ 2n расположены симметрично отно- сительно начала координат, план ПФЭ 2n при равночисленных наблю- дениях откликов является ортогональным, A-, D-, E-, G- оптимальным и ротатабельным. Совокупность такого множества показателей эф- фективности (критериев оптимальности) определяет широкое приме- нение плана ПФЭ 2n при планировании активного эксперимента. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 272; Нарушение авторского права страницы
(например, дисперсии становятся однородными), однако при этом возникает вопрос: что же значит достигнуть экстремума этой величи- ны?
N и
N .
u=1
y ui - y uo .
u =1
DX 
x i0
