Сечения поверхности отклика

После получения регрессионной модели координаты точки оп- тимума определяют известными аналитическими методами оптимиза- ции (дифференциальное, вариационное исчисление и др.).

Координаты центра поверхности отклика (экстремум) можно определить путем взятия частных производных по каждому фактору из уравнения регрессии и приравнивания выражений к нулю.

Например, для уравнения регрессии с двумя факторами х₁ и х₂

 

 

ì dy

 

= b + b x + 2b x = 0

ï  dx

1   12  2       11 1

í 1                                                                                  (3.36)

ï dy = b

+ b x + 2b x

= 0.

ïî dx2

2    12  1      22 2

 

 

В результате решения системы дифференциальных уравнений определяют координаты центра поверхности отклика х_1S и x_2S. Под- ставив значения x_1S и x_2S в уравнение регрессии, получают значение функции отклика в точке экстремума у_S .

Для построения двумерного сечения поверхности отклика нача- ло координат переносят в точку экстремума.

Угол поворота новых осей относительно старых определяют по формуле

 

t_g2a =

b if b ii - b ff

 

.                     (3.37)

Затем проводят каноническое преобразование регрессионной модели [11].

Коэффициенты регрессии в канонической форме В₁₁ и В₂₂ опре- деляют решением характеристического уравнения

 

 

b  - B 1 b

11

f (B) =

2 12

= B2 - (b

+ b )B + (b b

- 1 b2

) = 0 . (3.38)

1 b   b - B

11       22

11 22

4 12

2  12          22

 

Уравнение регрессии, представленное в канонической форме, имеет вид

 

11 1

2

Y - Y_S = B X² + B₂₂X ² ,                               (3.39)

 

 

где Y – значение критерия оптимизации; Y_S – значение критерия оптимизации в точке оптимума; X₁, X₂ – новые оси координат, повер- нутые относительно старых осей х₁ и х₂; В₁₁, В₁₂ – коэффициенты ре- грессии в канонической форме.

Придавая различные значения критерию оптимизации в канони- ческом уравнении (3.39), получают уравнения кривых равного значе- ния критерия оптимизации (кривых равного отклика), по которым строят двумерное сечение поверхности отклика (серию кривых равно- го выхода – изолиний). На основе анализа двумерного сечения окон- чательно определяют область оптимума критерия оптимизации.

Пример 7. Определить оптимальный состав полимерной компо- зиции на основе анаэробного герметика АН-111, наполненного мик- ротальком Талькон Т-20 и бронзовой пудрой БПП [14].

Предварительные эксперименты показали нелинейный характер зависимости деформационно-прочностных свойств клеевых соедине- ний композиции на основе анаэробного герметика АН-111 от степени

наполнения микротальком Талькон Т-20 и бронзовой пудрой БПП. Поэтому для определения оптимального состава композиции был проведён многофакторный эксперимент по плану В₂, который позво- ляет получить регрессионную модель в виде полинома второго поряд- ка.

 

11

1

2

y = b0 + b1X1 + b2 X 2 + b12 X1X 2 + b X ² + b22 X ² .

 

 

Матрица планирования представлена в табл. 3.15

 

 

Таблица 3.15 Матрица планирования композиционного плана B₂

№ опыта	X0	X1	X2	X1X2	X 2 1	X 2 2	Y
1 2 3 4 5 6 7 8	+ + + + + + + +	- + - + - + 0 0	- - + + 0 0 - +	+ - - + 0 0 0 0	+ + + + + + 0 0	+ + + + 0 0 + +	Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8

 

Пользуясь таблицей случайных чисел, опыты проводили в сле- дующем порядке: 3, 1, 8, 7, 2, 6, 5, 4.

В качестве независимых факторов приняли концентрации мик- роталька Талькон Т-20 и бронзовой пудры БПП, а в качестве функции отклика – удельную работу разрушения клеевых соединений, так как она является показателем работы материала при динамическом нагружении. На основе предварительных экспериментов определили уровни и интервалы варьирования факторов, которые представлены в табл. 3.16.

Для каждой строки матрицы по результатам опытов определяли среднеарифметическое значение выходного параметра оптимизации и

их дисперсии, представленные в табл. 3.17.

 

 

Таблица 3.16 Уровни и интервалы варьирования факторов

Наименование фактора	Кодированное обозначение фактора	Уровни варьирования фактора			Интервалы варьирова- ния фактора
		нижний	нулевой	верхний
Концентрация: микроталька бронзовой пудры	X1 X2	0,1 2	1,05 10	2 18	0,95 8

 

С учётом равного количества опытов в каждой строке матрицы планирования проверку однородности дисперсий выполняли по кри- терию Кохрена. При этом расчётное значение критерия составило G_p = 0,209 , а табличное – G_T = 0,5157.

Условие G p

< G Т

выполняется, поэтому гипотеза об однородно-

 

сти дисперсий принимается.

 

 

Таблица 3.17 План В₂ и результаты многофакторного эксперимента

№ п/п	Х1	Х2	У1	У2	У3	yg	ŷi	S 2 g
1	-1	-1	11,11	11,06	11,01	11,06	11,197	0,002
2	+1	-1	9,13	9,1	8,97	9,07	8,925	0,007
3	-1	+1	11,63	11,07	11,52	11,52	11,662	0,165
4	+1	+1	5,65	5,83	5,27	5,58	5,447	0,082
5	-1	0	11,63	10,71	11,16	11,17	10,888	0,212
6	+1	0	6,05	6,37	6,68	6,37	6,645	0,099
7	0	-1	10,88	10,71	11,5	11,03	11,035	0,173
8	0	+1	9,14	9,54	9,92	9,53	9,528	0,152

 

Дисперсия воспроизводимости результатов эксперимента

e

S ² = 3,54.

Коэффициенты регрессии составили:

b0 = 48,64 ,

b1 = 2,115,

b2 = -3,315, b12

= -0,498, b11

= -5,228,

b22

= -11,428 .

= S

2

Дисперсии оценок коэффициентов регрессии :

S

S

b0

b1

2 = 1,475 , ²

2 = 0,197 ,

S _b12

= 0,295 ,

2

S

b11

 

2

= S

b22

= 0,885.

b2

Проведена оценка значимости коэффициентов регрессии. Коэф- фициент можно считать значимым в том случае, если его абсолютное

значение больше значения доверительного интервала

± Db i

= ±t T S bi .

Табличное значение коэффициента Стьюдента t_T = 2,12.

Db0 = 3,127 < b0 = 48,64,

Db1 = Db2 = 0,418 < b1 = 2,115, b2 = -3,315,

Db11

= Db22

= 1,867 < b11

= -5,228, b22

= -11,428,

Db12

= 0,625 > b12

= -0,498.

Все коэффициенты, кроме b₁₂, значимы.

Уравнение регрессии имеет вид

1

2

y = 48,64 + 2,12 × x1 - 3,32 × x2 - 5,23× x² -11,43× x² .

Затем раскодировали уравнение регрессии в натуральных еди- ницах с учётом того, что перевод натуральных значений факторов в кодированные осуществляют по формулам :

x = x1 - 1,05 ,

1        0,95

x = x2 -10 .

2          8

Уравнение регрессии в натуральных единицах получило вид

1

2

y = 26,12 +14,41× x1 + 3,16 × x2 - 5,8 × x² - 0,18× x² .

Далее рассчитали по данному уравнению регрессии значения отклика в точках плана :

yˆ1  = 33,1;

yˆ2  = 37,34;

yˆ3  = 26,06;

yˆ4  = 30,30;

yˆ5  = 41,1;

yˆ6  = 45,34;

yˆ7  = 40,46;

yˆ8  = 33,42.

 

Проверку адекватности уравнения регрессии выполнили по кри- терию Фишера, при этом условие адекватности F_p < F_T.

Определили выборочную дисперсию

S ² = 1,43 .

Табличное значение F-критерия Фишера составляет F T = 3,2 .

Расчётное значение критерия F p

= 1,211 < F T

= 3,2 , следова-

 

тельно, регрессионная модель адекватна.

Проверку работоспособности регрессионной модели производи- ли по коэффициенту детерминации

å

ú

é N                          2                                      2ù

mê (Y g - Y ) - (N - d* )S

N

R2 =  ë g = 1                                                                      û .

e

må

g =1

 

(Y g

- Y )2 + N (m - 1)S 2

 

Регрессионная модель считается работоспособной, если выпол-

няется условие

R² ³ 0,75.

 

Коэффициент детерминации

R ² = 0,95 > 0,75 , поэтому регрес-

 

сионная модель работоспособна. На рис. 3.17 показана поверхность отклика регрессионной модели.

Рис. 3.17. Зависимость удельной работы разрушения композиции на основе герметика АН-111 от концентрации микроталька Талькон Т-20 и бронзовой пудры БПП

С целью оптимизации функции отклика и определения области оптимума критерия оптимизации проводили каноническое преобразо- вание регрессионной модели [11].

Для этого находили координаты центра поверхности отклика (экстремум) путём взятия частных производных по каждому фактору из системы уравнений, приравнивания при этом выражения к нулю

ì dy

ïdx

= 2,115 - 2 × 5,228 × x1 = 0

í 1                                                                     .

ï dy

ïîdx2

= -3,315 - 2 ×11,428 × x2 = 0

В результате решения системы уравнений определены коорди- наты центра поверхности отклика X_1S = 0,202, X_2S = –0,145 в кодиро- ванных единицах и x_1S = 1,24 масс. ч., x_2S = 9,98 масс. ч. в натураль- ных единицах.

Подставив значение координат центра поверхности отклика в уравнение регрессии в раскодированном виде, получили значение от- клика в точке экстремума y_S = 48,93 МДж/м³.

Так как коэффициент b₁₂ не значим, угол поворота новых осей относительно старых не осуществляем.

Коэффициенты регрессии в канонической форме В₁₁ и В₂₂ опре- деляли решением характеристического уравнения

f (B) = B² + 16,66 × B + 59,75 = 0,

 

B11

22

= -8,33 ±

= -8,33 ± 3,11,

 

B₁₁ = – 11,43, B₂₂ = – 5,22.

Правильность вычислений проверяли сравнением сумм коэф- фициентов при квадратичных членах

– 5,228 – 11,428 = – 16,66,

– 5,22 – 11,43 = – 16,65.

Суммы коэффициентов при квадратичных членах совпадают.

После определения коэффициентов В₁₁ и В₂₂ уравнение регрес- сии, представленное в канонической форме, получило вид

Y - 48,93 = -11,43X ² - 5,22X ² .

1                   2

Придавая различные значения критерию оптимизации в канони- ческом уравнении, получили уравнения кривых равного значения критерия оптимизации, по которым строили двумерное сечение по- верхности отклика (серию кривых равного выхода – изолиний). На основе анализа двумерного сечения определили область оптимума критерия оптимизации. На рис. 3.18 показано двумерное сечение по- верхности отклика.

 

Рис. 3.18. Двумерное сечение поверхности отклика

 

 

Таким образом, максимальной удельной работой разрушения 48,9 МДж/м³ обладает композиция, содержащая 100 масс.-ч. АН-111, 9,6 масс-ч. микроталька Талькон Т-20 и 1,2 масс-ч. бронзовой пудры БПП.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: