Геометрическое подобие материальных систем

Все пространственные координаты одной i-системы ~ простран- ственным координатам другой системы ( рис. 3.19). При этом m_x= m_y= m_z= m.

 

x                                                                     x

Рис. 3.19. Пример геометрического подобия

 

x

i = m x ,

X i

i = m y ,

y

Y i

i = m z ,

z

Z i

где x_i, y_i, z_i, X_i, Y_i, Z_i – коэффициенты сходственных точек рассматри- ваемых систем; m_x, m_y, m_z – коэффициенты подобия, или масштабы.

Афинное подобие

При аффинном подобии соблюдает- ся условие

m_x ≠ m_y ≠ m_z.

(рис. 3.20).

 

 

x

m_x ≠ m_y ≠ m_z.

Геометрическое подобие – это частный случай афинного подобия, когда m_x = m_y = m_z = m .

Конформное подобие

Шар (глобус) преобразуют в плоскую модель (карту). На рис. 3.21 по- казан пример конформного подобия.

 

 

 

Рис. 3.21. Пример конформного подобия

По степени соответствия параметров моделей и оригиналов различают абсолютное, полное, неполное и приближенное подобие. По соответствию физической природе различают физическое и мате- матическое подобие.

Абсолютное подобие требует полного тождества явления и яв-

ляется абстрактным понятием.

Полное подобие – подобие тех процессов, протекающих во времени и пространстве, которые определяют в основном исследуе- мые явления.

Неполное подобие связано с изучением процессов только во времени или только в пространстве.

Приближенное подобие реализуется при некоторых упрощаю- щих допущениях, приводящих к искажениям, которые заранее оцени- ваются количественно аналитическим или экспериментальным путем.

Физическое подобие реализуется при одинаковой физической природе подобных явлений (механическим процессам в изучаемой си- стеме соответствуют механические процессы в подобных системах).

Математическое подобие требует соответствия параметров сравниваемых процессов (например, одинаковой формы уравнений, описывающих физически разнородные явления). Процесс колебания маятника описывается аналогично процессам колебания тока и напряжений в цепи, состоящей из емкости и индуктивности.

Все виды подобия подчиняются некоторым общим закономер- ностям, называемым теоремами подобия.

Первая и вторая теорема подобия получены из предположения, что речь идет о явлениях, подобие которых заранее известно. Третья теорема подобия определяет условие, необходимое и достаточное, чтобы явления оказались подобными.

Первая теорема подобия. У подобных явлений можно найти определенные сочетания параметров, называемых критериями подо- бия, имеющих одинаковое значение.

Подобные процессы описываются однородными уравнениями

 

 

y

n

j

/ = y ^/ =

2

y

y

j 2 = ... =

n

 

(4.1)

или

 

y j     = p

y n

 

= idem,

 

 

где p – критерий подобия;

«idem» – соответственно одинаково для всех рассматриваемых процессов.

Критерий подобия можно преобразовать в критерий другой формы с помощью операции умножения или деления ранее найден- ных критериев друг на друга.

 

p _R = idem и p _k+ j

ß

= idem

p R ´ p k + j

= idem ;

= idem; p R

p

R                                k + j

= idem ;

R ´ p _R = idem,

 

 

где R – любая константа.

В приложении Д приведены наиболее известные критерии по- добия [17].

Вторая теорема подобия. Всякое полное уравнение физическо- го процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнение параметров.

При этом переходе к критериальному уравнению происходит замена переменных и сокращение их числа с m размерных до n без- размерных величин, что упрощает обработку аналитических и экспе- риментальных исследований и позволяет применить результаты ис- следований к ряду подобных явлений.

Например, имеем уравнение (алгебраическое, интегральное,

дифференциальное):

 

 

AB + CD = E .

 

Для получения критерия подобия необходимо и достаточно ле- вую часть уравнения разделить на правую:

 

AB E + CD E = 1,

 

 

где

AB E и CD E

- критерии подобия (обобщенные переменные).

Третья теорема подобия. Необходимым и достаточным усло- вием подобия является пропорциональность сходственных парамет- ров, входящих в условие однозначности, и равных критериев подобия изучаемого явления.

При моделировании необходимо знать соотношения, устанавли- вающие условия перехода от модели к исследуемому объекту (ориги- налу). Такие соотношения называют коэффициентами подобия, или масштабами.

В научных исследованиях в настоящее время широко использу- ют моделирование, в основе которого лежит подобие модели и нату- ры.

Пример 1 [18]

Согласно первой теореме подобия: у явлений, подобных в том или ином смысле (физически, математически и т.д.), можно найти определенные сочетания параметров, называемых критериями подо- бия, имеющих одинаковые значения. Под критерием подобия понима- ется обобщенная переменная (ОП) – безразмерный комплекс физиче- ских величин, определяющий тот или иной процесс [17].

Клеевые швы восстановленных подшипниковых узлов различ-

ных типоразмеров являются подобными, так как используется один и тот же полимерный материал, материал подшипников и подшипнико- вые узлы подвергаются одному виду циклического нагружения (сим- метричный цикл).

Из первой теоремы подобия следует, что критерии подобия в подшипниковых узлах различных типоразмеров, являющихся подоб- ными, будут равны. Следовательно, проблему сокращения объемов испытаний можно решить, если проводить исследования долговечно- сти восстановленных неподвижных соединений с использованием критериев подобия. При этом результаты исследования подшипнико- вых узлов одного типоразмера будут пригодны для использования применительно к любым другим типоразмерам.

Для этого необходимо получить критерий подобия, определяю- щий связь между параметрами полимерного материала, нагрузкой и долговечностью восстановленного неподвижного соединения.

Усталостное разрушение в полимерных материалах при цикли- ческом нагружении можно объяснить с помощью теории зародыше- образования. В самом простом случае разрушение образца из поли- мерного материала происходит в момент, когда при каком-то цикле нагружения начинается нестабильный рост трещины. Количество циклов нагружения до разрушения образца называют усталостной долговечностью. В общем случае усталостная долговечность опреде- ляется как сумма времени до образования нестабильной трещины и времени до макроскопического разрушения, имеющего место в поли- мерном материале при циклическом нагружении.

Д.С. Преворсек с сотрудниками применили теорию зародыше- образования для описания процесса усталостного разрушения поли- мерного материала и показали, что долговечность последнего опреде- ляется временем образования нестабильной трещины.

Скорость образования трещины при циклическом нагружении

предложено определять по формуле [19]

 

 

R = æV k T Z  ö expæ - DF  ö exp[B^|s 2 g(b) +1,84],  (4.2)

ø

ø

è

NF   ç

è

2p fh ÷

ç kT ÷        _a

где V – объем образца, м³; k – постоянная Больцмана, k = 1,380662·10^-23 Дж/К; T – температура испытания, К; Z – неодно- родность напряжений; f – частота, Гц; h – постоянная Планка, h = 6,626 · 10^-34 Дж·с; D F – энергия активации, Дж; v – объем пор, м³; B^| – обозначение выражения:

B^| = vq² / 2ЕkT;

q – коэффициент интенсивности напряжений; s а – амплитуда напряжений, Па; g(b) = 0,37b² + 0,58b, где b – отношение среднего напряжения и амплитуды напряжения, b = s m / s а ; E – модуль упру- гости полимерного материала, Па.

Усталостную долговечность образца из полимерного материала lg N при циклическом нагружении можно определить по формуле

 

 

æ 2p fh  ö æ

1 öé

vq²s 2 g(b)         ù

lg N = lgç

÷ + ç

÷êDF - a  -1,84kT ú

, (4.3)

è V k T Z ø è 2.3kT øë         2E               û

 

 

Для определения критериев подобия использовали вторую тео- рему подобия, известную также под названием p  -теоремы. Всякое полное уравнение процесса, записанное в определенной системе еди- ниц, может быть представлено в виде зависимости между критериями

подобия, т.е. безразмерных соотношений, составленных из входящих в уравнение параметров.

Любой физический процесс описывается уравнением связи между параметрами процесса и параметрами элементов системы.

В нашем случае процессом является изнашивание при цикличе- ском нагружении клеевых неподвижных соединений, а параметрами процесса – напряжение s  , температура Т и частота нагружения f. Си-

стемой является подшипниковый узел с неподвижным соединением, восстановленным полимерным материалом, а параметрами элементов системы – толщина клеевого шва h_кш, модуль упругости полимерного материала Е, диаметр наружного кольца D и ширина В подшипника. В общем виде это уравнение связи имеет вид

 

f (P1 , P2 ,..., P i  ,..., P k  ,...P S  ,..., P m  ) = 0 ,                         (4.4)

 

где P₁, P₂, ..., P_m – параметры, 1 £ i £ k; k+1 £ s £ m.

Уравнение (4.4) полное, поэтому является однородным и все входящие в него параметры можно выразить в относительных едини- цах, т.е. в долях от некоторых величин P₀₁, P₀₂, ... , P_оm, имеющих со- ответственно такую же размерность, что и P₁, P₂, ... , P_m.

f ( P1

, P2

,..., P i

,..., P k

, P k +1 ... P S

,..., P m ) = 0 .

P01

P02

P0i

P0k1

P0k +1      P0 S

P0m

Применим p  -теорему к формуле (4.3) и запишем ее в виде (4.4)

 

 

s

s

f ( a  ,

a 0

DF

DF0

, T ,

T0

f , V

f0 V0

) = 0.                  (4.5)

 

 

Не все величины, в долях от которых желательно выразить пять параметров в уравнении, можно выбрать произвольно. Для определе- ния этих величин выписали размерности всех параметров в системе единиц СИ:

 

[s a  ]= [L-1M 1T -2Q0 ]= [s a  0 ],

0

[DF ]= [L2 M 1T -2Q0 ]= [DF ],

0

[T ]= [L0 M 0T 0Q0 ]= [DT ],

 

 

(4.6)

0

[f ]= [L0 M 0T -1Q0 ]= [f  ],

0

[V ]= [L-3 M 0T 0Q0 ]= [V ].

 

 

Прологарифмировав выражения (4.6), получили систему линей- ных уравнений, где коэффициентами являются показатели степени основных единиц. Далее определили количество независимых между параметров, которое равно четырем. Затем перезаписали аргументы (4.5) в последовательности: вначале записали отношения четырех не- зависимых величин, а затем одной зависимой. В нашем случае урав- нение (4.5) не изменилось.

Далее выразили оставшиеся единицы, т.е. [V_о] через независи- мые [s ао ], [ D F_o], [Т_о] и [ f_о], используя для этого выражение

 

 

 

P

P

P

,P

01

02

0i

0k

где y_i = D_i,s / D.

Роs = Y 1

Y 2 ...

Yi  ... Yk

[V  ]₌ [s ]X  1 [_DF ]X  2 [T ]X  3 [f

]X 4 .

0                a 0                   0              0              0

 

 

Неизвестные показатели степени X определили как отношение определителя D_i,s к определителю системы D = – 3.

 

[V0

]₌ [s a0

]1 [_DF

]-1 [T

]0 [f

]0 .

 

 

0

0

0

Критерий подобия p  имеет вид

 

 

p1 =

(s 0

V

DF -1 T 0

f 0 ).

После ряда преобразований получили

 

1

p = [(K (hS 2 )]

o a

 

,                          (4.7)

 

 

где h – толщина клеевого шва, м; S – площадь клеевого шва, м²; К – величина, постоянная для данного полимерного материала, К = r  D F·/М.

Поясним физический смысл критерия подобия с точки зрения обеспечения долговечности и влияния масштабного фактора. С уве- личением размеров образца, в частности площади и толщины клеево- го шва или полимерного покрытия, долговечность образца при цикли- ческом нагружении будет снижаться. Это обусловлено следующими причинами: 1) увеличением вероятности появления дефектов в связи со статистической природой усталостных явлений; 2) повышением неравномерности свойств по сечению клеевого шва или полимерного покрытия с увеличением абсолютных размеров; 3) увеличением зоны объема материала, охватываемого повышенными напряжениями [20]. Поэтому, чтобы получить такую же долговечность, как на модели ма- лых размеров, на оригинале больших размеров необходимо соответ- ственно снизить значение радиальной нагрузки Р.

Проведены экспериментальные исследования, подтвердившие адекватность формулы критерия подобия p  (4.7). По результатам ис-

следований разработана технология восстановления неподвижных соединений подшипников качения акриловым адгезивом АН-105.

Сочетание теорий подобия и теории планирования активного эксперимента позволяет использовать критериальные функции откли- ка, в качестве которых принимают не отдельные величины, а критери- альные соотношения. Такие соотношения обеспечивают получение области оптимальных параметров, что очень актуально при ис-

следованиях сложных технических систем, проводимых на различно- го рода моделях. Моделирование выступает как инструмент проверки практикой создаваемых теорий и методов расчетов, средство ускорен- ных испытаний, проверки вновь конструируемых узлов и агрегатов наземных транспортно-технологических средств.

Критериальные зависимости в сочетании с методами планиро- вания активного эксперимента и регрессионным анализом облегчают задачи оптимизации сложных технических систем.

Критериальная обработка результатов исследований позволяет существенно сократить количество необходимых экспериментов за счет уменьшения числа варьируемых факторов, распространить ре- зультаты каждого из этих экспериментов на неограниченно большой класс подобных процессов.

Пример 2. Исследуется процесс в электрической цепи с актив- ным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С при включе- нии на источник постоянного напряжения U. Необходимо оценить влияние факторов R, L, С и U в заданных диапазонах на максимальное значение тока в цепи, т.е. изучить зависимость i_max=f(R, L, С, U). Критерии подобия процесса определяют на основе анализа раз- мерностей параметров i, R, L, С, U. Выбрав в качестве независимых

факторы U, R и С, можно получить критерии подобия

p1 = iR /U ;

2

p = L / R²C . Исследуемая зависимость в критериальной форме примет

видp i

= imax

R /U = j(L / R2C).

 

Если известно математическое описание процесса, тогда полу-

чим

U = Ldi / dt +1/ C ò idt + iR.

Делением всех членов уравнения на чет-

вертый член можно получить три критерия подобия:

p1 = U / Ri = i уст  / i ( i уст –   это установившийся ток в цепи),

p 2 = L / Rt , p 3 = t / RC . При объединении второго и третьего критериев в

один и неизменном масштабе времени получим

p = p2p3

= L / R2C =idem.

 

1

Критерий

p -1 определяет масштаб тока

i* =

i i уст

. Получен тот же ре-

зультат, что и на основе анализа размерностей.

 

Переход к критериям подобия уменьшает количество варьируе- мых факторов с четырех (R, L, С, U) до одного (L/R²C). Это сокра- щает число опытов, необходимых для экспериментального определе- ния искомой зависимости. Три-четыре опыта при вариациях значения безразмерного комплекса дадут соотношение, описывающее влияние на параметры R, L, С, U. Каждая точка этого соотношения будет со- ответствовать бесконечному числу подобных процессов [p i¢ =idem,

p 2¢ =idem].

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузнецов, И. Н. Научное исследование [Текст] : Методика прове- дения и оформление /И.Н. Кузнецов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дашков и К^о, 2006. – 460 с.

2. Основы научных исследований [Текст] / Б.И. Герасимов, В.В. Дробышева, Н.В. Злобин [и др.]. – М.: ФОРУМ, 2009. – 272 с.

3. Крутов, В.И. Основы научных исследований [Текст] / под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова. – М.: Высшая школа, 1989. – 400 с.

4. Административный регламент исполнения федеральной служ- бой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам государственной функции по организации приема заявок на изобретение и их рассмотрения, экспертизы и выдачи в уста- новленном порядке патентов Российской федерации на изобре- тение [Электронный ресурс]: утвержден приказом Министер- ства образования и науки Российской Федерации [от 29 октября 2008 г. № 327]. – Режим доступа: http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/94864/. – 26.03.2013.

5. Административный регламент исполнения Федеральной служ- бой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам государственной функции по организации приема заявок на полезную модель и их рассмотрения, экспертизы и выдачи в установленном порядке патентов Российской Федерации на по- лезную модель. [Электронный ресурс]: утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации [от

29 октября 2008 г. № 326]. – Режим доступа: http://www.garant.ru/products/ipo/prime/doc/94864/. – 26.03.2013.

6. Пат. 2344399 Российская Федерация, Стенд для испытания подшипников качения на долговечность [Текст] / Ли Р.И., Ще- тинин М.В., Кондрашин С.И., Бочаров А.В. ; заявитель и патен- тообладатель // Опубл. 20.01.2009. – Бюл. № 2.

7. Ли, Р. И. Композиция для склеивания металлических изделий [Текст]: Патент на изобретение № 2430945 РФ Заявл. 29.05.2009

/ Ли Р. И., Кондрашин С. И., Бочаров А. В., Бутин А. В. // Опубл. 10.10.2011. – Бюл. № 28.

8. ГОСТ 24026-80. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. [Текст].- Введ. 1981-01-

01. – М.: Изд-во стандартов, 1989. – 21 с.

9. Ли, Р.И. Исследование машин и оборудования металлургического производства [Текст]: учеб. пособие. / Р.И. Ли – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. − 344 с.

10. Аугамбаев, М. Основы планирования научно- исследовательского эксперимента [Текст] / М. Аугамбаев, А.З. Иванов, Ю.И. Терехов. - Ташкент: Укитувчи, 1993. – 336 с.

11. Крассовский, Г.И. Планирование эксперимента [Текст] / Г.И. Крассовский, Г.Ф Филаретов. – Мн.: Изд-во БГУ им. Ленина, 1982. – 302 с.

12. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента [Текст] : Конспект лекций (отдельные главы из учебника для вузов) / Н.А. Спирин, В.В. Лавров; под общ. ред. Н.А. Спирина.- Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. – 257 с.

13. Казаков, Ю.Б. Методы планирования эксперимента в электро- механике [Текст] : метод. Указ. выполнению лаб. работ / Ю.Б. Казаков, А.И. Тихонов. – Иваново МГЭУ, 2001. – 28 с.

14. Кондрашин, С.И. Восстановление неподвижных соединений подшипников качения сельскохозяйственной тех-

ники анаэробными герметиками с дисперсными минеральными наполнителями [Текст]: дис. ... канд. техн. наук : 05. 20.03 / С.И. Кондрашин. – Мичуринск, 2009. – 120 с.

15. Веников, В.А. Теория подобия и моделирование [Текст] / В.А. Веников, Г. В. Веников. – М.: Высшая школа, 1984. – 486 с.

16. Михелькевич, В.Г. Основы научно-технического творчества [Текст] / В.Г. Михелькевич, В.М. Радомский. – Ростов н/Д: Фе- никс, 2004. – 320 с.

17. Хебда, М. Справочник по триботехнике [Текст]: Теоретические основы / М. Хебда, А.В. Чичинадзе - М. : Машиностроение, 1989. – 400 с.

18. Щетинин, М. В. Восстановление неподвижных соединений подшипников качения сельскохозяйственной техники адгезивом Анатерм-105 [Текст]: дис. ... канд. техн. наук : 05.20.03. защищена 2008 / М.В. Щетинин. – Мичуринск, 2008. – 146 с.

19. Нарисава, И. Прочность полимерных материалов [Текст]: пер. с япон. / И. Нарисова ; под ред. А.А.Берлина. - М.: Химия, 1987 - 398 с.

20. Школьник, Л. М. Методика усталостных испытаний [Текст] / Л.М. Школьник. - М.: Металлургия, 1978. – 302 с.

Приложение А

МПК G O1M13/00

Объект – устройство

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: