Неопределенный интеграл. Понятия. Свойства.

Неопределенный интеграл. Понятия. Свойства.

Пусть функция  определена на некотором интервале  и для всех  существует такая функция , что . Тогда  называется первообразной для  на

Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

При этом  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

, где , постоянная  может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

                                                               (1)

                                                                                         (2)

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки  и  уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

3. , где постоянная .

4. .

5. Свойство инвариантности формул интегрирования.

Если , , то ,                           (3)

т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:

 

Основные методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования  можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Способ подстановки (замены переменных).

 

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать           первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

( uv ) ¢ = u ¢ v + v ¢ u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d ( uv ) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

  или     ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. По частям берутся интегралы вида:

1)                                            

              

В этих интегралах в качестве u всегда берется

 

Функции двух переменных. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность функции двух переменных.

Неопределенный интеграл. Понятия. Свойства.

Пусть функция  определена на некотором интервале  и для всех  существует такая функция , что . Тогда  называется первообразной для  на

Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

При этом  называется подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением,  – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

, где , постоянная  может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

12345Следующая ⇒

Поделиться: