Что такое условный экстремум функции нескольких переменных?

Пусть функция  определена в некоторой области Д. Точка  этой области является точкой условного максимума при дополнительном условии , если

                    1) координаты точки  удовлетворяют уравнению ;

                    2) существует такая окрестность точки , что для всех точек, принадлежащих этой окрестности и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Аналогично определяется условный минимум.

Рассмотрим уравнение  как уравнение кривой в плоскости ХОУ, эту задачу можно интерпретировать геометрически так: на кривой  найти такую точку , в которой значение функции было бы наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках кривой , близких к точке .

Предполагая, что функции и  дифференцируемые в окрестности точки , найдём условный экстремум.

Пусть в точке , принадлежащей кривой , функция  имеет экстремум. Предположим, что в точке  хотя бы одна из частных производных  или  отлична от нуля. Пусть для определённости . Тогда, разрешая относительно у уравнение , можно найти дифференцируемую функцию , для которой , причём .

Если подставить в функцию  вместо у его выражение через х, то будет функцией только одной независимой переменной х: .

Этим самым задача разыскания условного экстремума свелась к разысканию экстремума функции одной переменной.

 

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение вида

                     

в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от  и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение на ,     получим

Далее

                               

Проинтегрировав обе части уравнения , получим общий интеграл уравнения :

Замечание 1. При делении обеих частей уравнения на произведение  могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение .

Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.

 

Однородные дифференциальные уравнения.

Определение. Функция  называется однородной функцией степени , если для   выполняется тождество

                                     

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

                                     

называется однородным, если  - однородные функции одной и той же степени.

Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

                                            

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

                                              

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

                                                           

тогда                           

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: