Метод вариации произвольных постоянных.

Частное решение  ЛНДУ можно найти, если известна фундаментальная система решений  и , методом вариации постоянных.

Согласно этому методу частное решение ЛНДУ ищется в виде

.                  

Метод вариации постоянных в данном случае аналогичен методу вариации постоянной для ЛНДУ первого порядка, который рассматривался ранее.

Функции z₁ и z₂ должны быть найдены так, чтобы выражение удовлетворяло исходному ЛНДУ второго порядка. Так как условие одно, а функций две, то можно произвольно выбрать дополнительное условие, лишь бы полученные условия позволяли однозначно определить эти функции. Поскольку , то в качестве такого условия можно взять . Тогда , поэтому . Подставляя эти выражения, получим

.

Выражения в скобках равны нулю, так как y₁ и y₂ – решения уравнения .

Следовательно, для определения функций z₁ и z₂ получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

.                                           

Система является линейной системой алгебраических уравнений относительно . Эта система имеет единственное решение только при условии, что y₁ и y₂ – фундаментальная система решений ЛОДУ (доказательство этого утверждения в настоящем пособии не приводится).

Разрешая систему относительно  и проинтегрировав их, находим искомые функции z₁ и z₂.

 

Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p , q – некоторые действительные числа,  – правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (у_он) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (у_оо) и частного решения ЛНДУ (у_чн):

                                                                                         у_он = у_оо + у_чн       

 

Что такое числовой ряд? Что называется суммой числового ряда?

Выражение вида                           

называется числовым рядом, числа  - членами ряда, а число  - общим (n-м) членом ряда.

Сумма конечного числа первых слагаемых числового ряда называется -й частичной суммой данного ряда

 

В чём состоит необходимость условия сходимости числового ряда?

Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при :

                                                   

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то 

                                                   

Из выполнения условия не обязательно следует сходимость ряда. Но если условие не выполняется, т. е. предел  при
 не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то ряд расходится.

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: