Свойства определенного интеграла. 2. - - перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака

 

1 .

2. - - перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака :

3.

4.

5. Если f ( x ) £ j ( x ) на отрезке [ a , b ] a < b, то .

6. Оценки определенного интеграла : если m < M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f ( x ) на отрезке [ a , b], то:

                                                                              

1. Теорема 3 (о среднем значении функции на отрезк). Если функция f( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], то на этом отрезке существует точка x = c , a < c < b, такая, что

                                       

 

 

8) Для заданного промежутка интегрирования [ a , b ] и и произвольной точки c справедливо равенство:

                               

Для вычисления определённого интеграла от функции f(x) на отрезке применяют формулу Ньютона-Лейбница:

,

т.о. для вычисления определённого интеграла  надо найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем вычислить разность значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Формулу Ньютона-Лейбница также записывают в виде:

 

Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление длины дуги, вычисление объемов тел, площадь поверхности вращения.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

A) Если площадь S ограничена кривой y = f(x) (f(x) ³ 0), двумя вертикалями х = а, х = b и отрезком оси абсцисс a £ x £ b (см. рис. 1), то . В случае параметрического задания кривой x = j(t), y = y(t)

, где t₁ и t₂ определяются из уравнений a = j(t₁) и b = j(t₂) (y(t) ³ 0 на отрезке [t₁, t₂]).

Б) Если площадь S ограничена линиями y = f₁(x), y = f₂(x), x = a, x = b  (f₁(x) £ f₂(x) при a £ x £ b) (рис. 2), то

.                             

В) Если площадь S ограничена линиями х = f(y) (f(y) ³ 0), y = c, y = d и отрезком оси ординат c £ y £ d (см. рис. 3), то .                                                

Г) Если площадь ограничена линиями x = f₁(y), x = f₂(y), y = c, y= d, ( f₁(y) £ f₂(y) при c £ y £ d), то

 .      

Д) Если кривая задана уравнением в полярных координатах
r = r (j) (рис. 5), то .                              

Е) Если кривые заданы уравнениями r = r₁ (j) и r = r₂ (j) (рис. 6), то

.           

                 

 

2. Длина дуги.

А) Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х (t), y = y (t), то длина ее дуги вычисляется по формуле , где t₁ и t₂ (t₁ < t₂) - значения параметра, соответствующие концам дуги.

Б) Если кривая задана уравнением y = f (x), то , где a и b (a < b) - абсциссы начала и конца дуги.

В) Если кривая задана уравнением x = х (y), то

,                                        

где c и d (c < d) - ординаты начала и конца дуги.

3. Объем тела вращения.

А) Объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), отрезком оси абсцисс a £ x £ b и двумя вертикалями х = а и х = b (см. рис. 7), вычисляется по формуле .                                  

б) Объем тела, образованного вращением вокруг оси 0y фигуры, ограниченной кривой x = j(y), отрезком оси ординат c £ y £ d и двумя параллелями y = c и y = d (см. рис. 8), вычисляются по формуле

.                                 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: