Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, а нормальное — изменение скорости по направлению.

Касательное и нормальное ускорения точки можно определить при ее движении в плоскости через проекции скорости и ускоре­ния в декартовых координатах

,

.

 

Классификация движения по ускорениям

1. . Движение прямолинейное и равномерное.

2. . Движение криволинейное и равномерное.

3. . Движение криволинейное и равномерное.

4. . Движение криволинейное и неравномерное.

 

Уравнения движения точки

Уравнение равномерного движения по траектории любой фор­мы (V = const)

.  

 

Уравнение равнопеременного движения по траектории лю­бой формы ( = const)

,                 

 

где  — начальное положение; — начальная скорость.

Если > 0 , то движение равноускоренное.

Если < 0 , то движение равнозамедленное.

Скорость равнопеременного движения

 

.

Задачи целесообразно решать по следующемуалгоритму:

1. Записать условие задачи.

2. Изобразить кинематическую схему.

 3. Выбрать систему координат.

4. Составить кинематические уравнения движения точки, если они не заданы.

5. Выбрать метод решения задачи.

6. По известным соотношениям кинематики найти все величи­ны, требуемые по условию задачи.

7.Изобразить на схеме траекторию, скорость и ускорение точки.

Примеры решения задач

Задача 6.3.1. Точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

х = t²см; у = sin πtсм.        

 

Определить траекторию точки М, ее скорость и ускорение в мо­мент времени t₁ = 1,5 с. Определить касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение. Для определения траектории точки М исключим из уравнений движения время, после чего получим уравнение тра­ектории в виде

Определяем положение точки М в момент времени t₁ (рис. 6.2)

 

Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на со­ответствующие оси координат:

.

 

Модуль скорости определяем по формуле

 

.

 

Вычисляем проекции вектора скорости точки на оси координат и её модуль в момент времени t₁

 

 

Направление вектора скорости определяем при помощи направ­ляющих косинусов

 

В момент времени t₁ направляющие косинусы вектора скорости

 

 

т.е. вектор скорости точки направлен параллельно осиОх.

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

.

 

Модуль ускорения определяем по формуле

 

Проводим вычисления для момента времени t₁

Направление вектора ускорения определяем при помощи на­правляющих косинусов

В момент времени t₁ направляющие косинусы вектора ускорения

 

Для определения касательного ускорения  точки М учтем, что его можно определить как проекцию вектора полного ускорения на направление касательной к траектории

 

.

 

В момент времени t₁

м/с².

 

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся формулой

м/с².

 

В данной задаче вектор касательного ускорения совпадает с проекцией вектора полного ускорения на осьОх, а вектор нормаль­ного ускорения - с проекцией ускорения на ось Оу.

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

.

В момент времени t₁

м.

 

Изображаем все найденные величины на рис. 6.2.

 

Рис. 6.2

 

Задания К-6

 

При задании движения точки М координатным способом x = f₁(t) и y = f₂(t) определить: уравнение и вид траектории движения точки М, положение точки М на траектории в расчетный момент времени t₁; скорость точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t₁; полное, касательное и нормальное ускорения точки М в любой момент времени t и в расчетный момент времени t₁; радиус кривизны траектории движения точки М;

    Исходные данные приведены в таблице 6.1: вариант задания; уравнения движения точки М:   

 

x = f₁(t ), (см), y = f₂(t), (см);

 

расчетный момент времени t₁, (с) для определения положения точки М на траектории, скорости и ускорения точки.

 

Таблица6.1

Вариант задания ⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒ Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 307; Нарушение авторского права страницы