К–7.Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела

7.1.Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела.

7.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого те­ла, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Точки твердого тела, совершающего поступательное движе­ние, перемещаются как по прямолинейным, так и по криволи­нейным траекториям.

Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются теоремой:при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент вре­мени имеют одинаковые по величине и направлению скоро­сти и ускорения.

Поступательное движение твердого тела характеризуется заданием дви­жения одной его точки, обычно цен­тра масс, и может быть задано лю­бым из изученных способов. Для за­дания поступательного движения тела в декартовой системе координат дос­таточно записать: . Эти выражения будут зако­ном поступательного движения.

Скорость и ускоре­ние твердого тела на­ходят по формулам, применяемым в кине­матике точки.

Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела.

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоско­стях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

При вращении тела угол поворота φ изменяется в зависимости от времени, т. е. является функцией времени t:  

.         

Это yравнение называется уравнением вращательного движения тела.

Если известно число оборотов Nза какой-то промежуток времени, то угол поворота равен:

,

где N — число оборотов, совершаемое вращающимся телом за определенный промежуток времени.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называетсяугловой скоростью тела .

,

или

,

где n — число оборотов, совершаемых вращающимся телом за единицу вре­мени (об./мин).

Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

 

.

Уравнение равнопеременного вращения тела имеет вид:

,

а уравнение угловой скорости определяется по зависимости:

,

где ,  — начальный угол поворота и начальная угловая скорость.

 

Модуль вращательной скорости точки твердого тела равен произве­дению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость тела.

.

Ускорение точки М определим по его составляющим: касательному ускорению, направленному по касательной к окружности, и нормальному ускорению, направленному к центру С. Эти ускорения точек вращающегося тела называют вращательным и центростремительным ускорениямии обозначают  и .

Модуль вращательного ускорения точки твердого тела равен произ­ведению расстояния от точки до оси вращения на модуль углового ускорения тела.

,

Модуль центростремительного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угло­вой скорости

 

.

Модуль полного ускорения точки

Тангенс угла β составленного уско­рением  с радиусом окружности

.

    При решении задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси рекомендуется придерживаться такой последовательности действий.

    Первый тип задач – дано уравнение вращения твердого тела, требуется определить угловую скорость, угловое ускорение, скорость и ускорение твердого тела:

выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (для определенности ось z) совпадала с осью вращения;

составляем уравнение вращения твердого тела (зависимость угла поворота от времени);

дифференцируя по времени угол поворота, определяем проекцию угловой скорости на ось вращения;

вычисляя вторую производную от угла поворота по времени, находим проекцию углового ускорения на ось вращения; 

пользуясь выражением проекции угловой скорости на ось вращения, вычисляем линейную скорость точки и ее центростремительное ускорение;

пользуясь выражением проекции углового ускорения на ось вращения, определяем вращательное  ускорение точки;

по найденным центростремительному и вращательному ускорениям находим полное ускорение точек по величине и направлению.

    Второй тип задач– задано угловое ускорение или угловая скорость твердого тела; требуется найти уравнение вращения, скорость и ускорение точки твердого тела:         

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию углового ускорения на ось вращения, находим проекцию угловой скорости;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

интегрируя дифференциальное уравнение, определяющее проекцию угловой скорости на ось вращения, находим уравнение вращения твердого тела;

произвольную постоянную интегрирования определяем по начальным условиям;

пользуясь выражением проекции скорости на ось вращения, вычисляем величину скорости и центростремительного ускорения точки;

определяем величину вращательного ускорения точки, зная проекцию углового ускорения на ось вращения, и далее находим полное ускорение точки.

Примеры решения задач

 

Задача 7.3.1. Лебедка (рис. 7.1), поднимающая груз по наклонной плоскости, состоит из двух валов с шестернями (зубчатыми колесами), числа зубьев которых равны соот­ветственно z ₁= 12 и z ₂= 48. К валу 2 прикреплен барабан радиусом r= 0,3 м, на который наматывается грузовой трос. Вал 1 вращается равноускоренно с угловым ускоре­нием ε₁ = 8 с^–2. Определить скорость, ускорение и переме­щение груза, а также ускорение точки В барабана в мо­мент времени t = 1 с. В начальный момент времени систе­ма находилась в покое.

Решение. Найдем угловую скорость ω₁ ведущего вала 1 из условия, что оно вращается с угловым ускорени­ем ε₁ = const, учитывая, что . Интегрируя послед­нее уравнение по времени, получаем .

Постоянную интегрирования получаем из начального условия: при t= 0 ω₁ = 0 (система находилась в покое), следовательноC₁ = 0.

 

 

Рис. 7.1

 

Итак, угловая скорость вала 1 определяется уравнени­ем

При t = 1с получаем .

Шестерни 1 и 2 взаимодействуют без проскальзыва­ния. Поэтому скорости точек их касания (точка А) будут одинаковы: .

Отсюда находим угловую скорость ω₂ вала 2, учитывая, что :

.

Угловое ускорение вала 2 равно .

Поскольку трос нерастяжим и относительно барабана не проскальзывает, то скорость груза v будет равна скоро­сти любой из точек на ободе барабана, в частности, скоро­сти точки В: v = v_B = ω₂ r= 0,6t=|_{t=1 c} =0,6 м/с.

Ускорение точки В равно векторной сумме вращательного и центростремитель­ного ускорений: .

Направление вращательного ускорения определяется направлением углового ускорения ε₂, а его модуль равен м/с². Центростремительное ускорение на­правлено к оси вращения вала 2 и равно по модулю м/с².

Модуль ускорения точки В

 

м/с².

Ускорение груза можно найти, взяв производную по времени от его скорости, так как это касательное ускоре­ние: м/с².

Перемещение груза определяется интегрированием модуля скорости по времени:

м.

Задача 7.3.2.Маховик радиусом R = 0,5м вращается так, что его угловая скорость меняется в соответствии с уравнением . Для момента времени t = 0,5 с после нача­ла движения определить скорость и ускорение точки на ободе маховика. Установить, за какое время маховик сде­лает 100 полных оборотов (рис.7.2).

 

Рис. 7.2

Решение. Для момента времени t = 0,5 с получаем ω = 0,680 с^–1, и скорость точки на ободе маховика равна v = ω R = 0,340 м/с.

 

Угловое ускорение маховика

.

Ускорение точки на ободе маховика равно сумме двух составляющих ускорений: где  — каса­тельное (вращательное) и нормальное (центростремитель­ное) ускорения точки.

Учитывая, что вращательное ускорение равно по мо­дулю , найдем  = 0,680 м/с²; центростремительное ускорение . Модуль полного ускорения точки

 

м/с.

 

Направления скорости и ускорений по­казаны на рис. 7.2.

Поскольку значения величин угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, вращение тела уско­ренное. Соответственно, совпадают по направлению угловая скорость и угловое ускорение тела, а также скорость точки и вращательное ускорение.

Поворот маховика на 100 полных оборотов соответ­ствует углу его поворота φ = 200π рад. Выражение для угла поворота найдем из уравнения .

Имеем

.

 

Итак, , откуда находим t = 2,19 с.

Задания К–2

При задании уравнения движения x = f ( t ) груза (тела 1) и радиусам шкивов (тело 2 (R₂, r₂) и тело 3 (R₃, r₃)) определить: скорость и ускорение груза (тела 1) в любой момент времени t и в расчетный момент времени t ₁; скорость и ускорение точки М, принадлежащей телу 3, в любой момент времени t и в расчетный момент времени t ₁.

Исходные данные приведены в таблице 7.1: вариант задания; радиусы шкивов: тело 2 (R₂ (см), r₂ (см)) и тело 3 (R₃ (см), r₃(см)); уравнения движения груза (тело 1) :x = f(t), (см); расчетный момент времени t ₁(с) для определения скорости и ускорения груза (тела 1) в момент времени t ₁, скорости и ускорения точки М,принадлежащей телу 3, в расчетный момент времени t ₁.

 

Таблица 7.1

Вариант задания	Радиусы шкивов				Уравнения движения груза (тела 1)	Расчетный момент времени t 1, с
	тело 2		тело 3		x = f 1 ( t ), см
	R 2 см	r 2 см	R 3 см	r 3 см
1	60	45	36	-	y = 15t2 +12t +2	2
2	80	-	60	45	y = 4t2 +10t +5	1
3	100	60	75	-	y = 0,5t2 +6t +5	2
4	58	45	60	-	y = 9,5t2 +4t +4	3
5	45	30	80	-	y = 6t2 +15t +3	2
6	45	35	105	-	y = 6t2 +5 t +8	3
7	35	10	10	-	y = 11t2 +2t +6	2
8	40	30	15	-	y = 6t2 +7t +10	1
9	40	35	15	-	y = 7t2 +3t+5	3
10	40	25	20	-	y = 10t2 +8t +9	1
11	20	15	10	-	y = 16t2 +10 t +5	2
12	30	20	40	-	y= 22t2+7	2
13	15	10	15	-	y = 17t2 +3 t+6	1
14	60	50	20	-	y = 13t2 +5t +6	2
15	15	10	15	-	y = 11t2 +2t +5	2
16	20	15	15	-	y = 12t2 +6t +4	3
17	15	10	20	-	y = 7t2 +4t +8	1
18	20	15	10	-	y = 10t2 +12t +3	1
19	15	10	20	-	y = 18t2 +10t +5	3
20	25	15	10	-	y = 27t2 +8t +10	1
21	20	10	30	10	y = 13t2 +5t +6	2
22	40	20	35	-	y = 21t2 +6t +7	1
23	40	30	30	15	y = 18t2 +9t +5	2
24	30	15	40	20	y = 4t2 +8t +9	2
25	50	20	60	-	y = 11t2 +4t +8	2
26	32	16	32	16	y = 50t2 +14t +6	2
27	40	18	40	18	y = 42t2 +10t +5	1
28	20	10	40	15	y = 36t2 +5t +8	2
29	50	20	30	-	y = 4t2 +6t +4	1
30	30	15	30	10	y = 16t2 +5t +6	3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1. Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

2. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно задается?

3.Дайте определения угловой скорости и углового ускорения.

4.Как определить вращательную скорость точки при вращении тела?

5.Как определяются вращательное и центростремительное ускорения при вращении тела?

6. Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: