Базовые понятия теории и методические. Примеры решения задач. Примеры решения задач

рекомендации по решению задач

Момент силы  относительно точки О изображается вектором , приложенным в этой точке и направленным перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть силу  стремящейся вращать эту плоскость в сторону, обратную вращению часовой стрелки (рис. 4.1).

Если из точкиО в точку приложения силыА провести радиус-вектор , то вектор момента силы можно выразить следующим векторным произведением:  

.

 

Рис. 4.1

    Модульэтого вектора  равен произведению модуля силы Р на ее плечо d относительно точкиО

 

.

 

 

Мо­ментом силы  относительно оси z называется взятое со зна­ком плюс или минус произведе­ние модуля проекции  силы  на плоскость, перпендикулярную оси, на ее плечо  относи­тельно точки О пересечения оси с плоскостью (рис. 4.2)

.

Рис. 4.2

 

Момент силы относительно оси считается положительным, если смотря навстречу оси z, можно видеть проекцию   стремящейся вращать плоскость I вокруг оси z в сторону, противоположную враще­нию часовой стрелки. Момент силы относительно оси изображается отрезком, отложен­ным по оси z от точкиО в положительном направлении, если , и в отрицательном - если .

 

Момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях:

    1. Сила параллельна оси.

    2. Линия действия силы пересекает ось.

Моменты силы относительно осей равны

,    

где x,у,z – координаты точки приложения силы ; Х, Y , Z- проекции силы  на координатные оси.

Пространственную систему сил можно привести к центру по аналогии с плоской системой. В результате приведения получается главный вектор и главный момент. В отличие от плоской системы сил главный момент в этом случае является векторной величиной.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно равенства нулю главного вектора и главного момента.

В координатной форме эти условия могут быть представлены в виде:

 

Заметим, что это всего лишь один из вариантов условий равно­весия. Оси, на которые проецируются силы, могут и не совпадать с осями, относительно которых вычисляются моменты сил. Уравнения проекций можно заменить уравнениями моментов. Можно, напри­мер, составлять шесть уравнений моментов, а уравнения проекций не составлять. Единственное требование, предъявляемое к состав­ленным уравнениям равновесия, состоит в следующем: все уравне­ния равновесия должны быть линейно независимы.

Следует отметить, что для составления уравнений более удобны уравне­ния проекций, а для решения - уравнения моментов. Задачи рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Действие каждой из опор заменяем двумя взаимно перпендикулярными реакциями, лежащими в плоскости, перпендикулярной валу.

2. Для определения силы давления составляем уравнение момен­тов относительно оси вала. Момент силы натяжения ремня, нити и т.п. (наклонной или нет) вычисляем как произведение величины силы на соответствующий радиус со знаком, соответствующим направле­нию вращения вокруг вала. Уравнение содержит одну неизвестную, которую легко найти.

3. Определяем вертикальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия горизонтальных реакций шарниров. Решаем эти уравнения.

4. Проверяем найденные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на вертикаль.

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров.

6. Проверяем горизонтальные реакции, составляя уравнение равновесия в проекции на ось вдоль линии действия горизонтальных ре­акций.

 

Примеры решения задач

 

Задача 4.3.1. Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирахА иВ (рис. 4.3). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.

 

Рис. 4.3

 

На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁ = 30 Н, Т₂ = 57 Н. Груз Q = 18 Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Р₁ = 35 Н, Р₂ = 10 Н, Р₃ = 15 Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R₁= 26 см, R₂ = 10 см, R₃ = 11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.

Решение

1. Действие цилиндрических опорА и В заменим реакциями Z_A, Х_А и Z_B, Х_В(рис. 4.4). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

Рис. 4.4

 

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала:

 

.

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

 

По условию N = F/0,1 = 27,692 Н.

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарнирыА и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рис. 4.5). Таким образом, вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точекА и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рис. 4.5), относительно любой ее точки равны нулю.

 

Рис. 4.5

 

Решая уравнения

 

находим Z_A= –11,324 H, Z_B = 75,574 H.

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рис. 4.5):

 

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 4.6):

 

Решая уравнения, находим Х_А = 25,100 Н, Х_В = –124,792 Н.

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:

 

Рис. 4.6

Результаты расчетов в Н заносим в таблицу:

 

N	XA	ZA	XB	ZB
27,692	25,100	-11,324	-124,792	75,574

Задания С-4

 

Горизонтальный вал весом G может вращаться в цилиндрических шарнирахА и В. К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F, пропорциональная N. На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁ и Т₂. Груз Q висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала (в Н). Учесть веса шкивов P₁, P₂, Р₃. Все нагрузки действуют в вертикальной плос­кости. Силы даны в Н, размеры в см.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1.Что называется векторным моментом силы относительно точки?

2. Что называется моментом силы относительно оси?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

4. Чему равно число независимых уравнений равновесия для произвольной пространственной системы сил?

5.Напишите условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: