К–8.Определение кинематических характеристик плоского механизма

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 17Следующая ⇒

8.1.Цель: отработка навыков решения задач по определению кинематических характеристик плоского движения твердого тела.

8.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Движение тела определяются тремя уравнениями, называемыми уравнениями плоского движения твердого тела:

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

где - скорость полюса;

- скорость вращения точки вокруг полюса.

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, алгебраически равны.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками отрезка.

При плоском движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю . Эту точку называют мгновенным центром скоростей.

Способы определения мгновенного центра скоростей.

1. Известны прямые, по которым направлены скорости двух точек плоской фигурыА иВ (рис. 8.1). В этом случае мгновенный центр скоростей фигуры определится как точка пересечения перпендикуляров к этим прямым, восставленных в точкахА и В.

2. Если скорости двух точекА иВ плоской фигуры параллельны и не перпендикулярны АВ (рис. 8.2), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞).

Рис. 8.1Рис. 8.2Рис. 8.3

3. Если плоская фигура катится без скольжения по некоторой неподвижной поверхности (рис. 8.3), мгновенный центр скоростей находится в точке соприкасания фигуры с поверхностью.

4. Если скорости точекА иВ плоской фигуры параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения положения мгновенного центра скоростей должны быть известны модули скоростей обеих точекА и В (рис. 8.4,а, б). Известно, что модули скоростей точек фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е.

Рис. 8.4

Следовательно, концы скоростей точекА иВ лежат на прямой, проходящей через мгновенный центр скоростей. Пересечение этой прямой с прямой АВ определяет мгновенный центр скоростей фигуры.

Если скорости точекА иВ плоской фигуры равны, параллельны между собой и перпендикулярны АВ (рис. 8.4, в), то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ∞), а угловая скорость фигуры

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:

а с учетом того, что ,

будет ,

где - ускорение полюса; - вращательное ускорение точки.

Примеры решения задач

Задача 8.3.1. Колесо радиуса r = 1 м катится без скольжения ускоренно по прямолинейному рельсу, имея в данный момент времени скорость центра v_o =1 м/с и ускорение центра a_о— 1 м/с² (рис. 8.5). Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, скорости и ускорения точек его обода М₁, М₂, М₃ и М₄, а также установить положение МЦС и МЦУ колеса.

Рис.8.5 Рис. 8.6

Решение.

I. Определение скоростей. У колеса, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности, МЦС (точка Р) находится в точке касания с этой поверхностью (рис. 8.6). В данном случае это точка M₁ (М₁ = Р): .

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦС: , где ω — угловая скорость тела. Применяем эту формулу к точкеО: v_o=ω|ОР| = ω r, откуда ω = v_o/r = 1 с^–¹.

Для точек М₂ и М₃ расстояния до точки Р одинаковы, поэтому одинаковы и модули скоростей этих точек:

м/с.

Скорость точки М₃ м/с. Направления скоростей перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки с МЦС.

Для вычисления скоростей можно было использовать также и теорему о сложении скоростей, выбрав в качестве полюса центр колеса: , где v_MO = ω|МО|. Скорость перпендикулярна отрезку МО и направлена по ходу вращения.

Можно было также пользоваться и следствием из этой теоремы о равенстве проекций скоростей точек на ось, проходящую через эти точки.

2. Определение ускорений. Вычислим сначала угловое ускорение колеса, формально дифференцируя выражение угловой скорости

В данном случае использован тот факт, что движение центра колеса прямолинейное и, следовательно, касательное ускорение точки совпадает с полным ускорением.

Для вычисления ускорений точек колеса применим теорему о сложении ускорений: , выбрав в качестве полюса центр колеса. Вращательное ускорение точки относительно полюса и направлено перпендикулярно отрезку МО по ходу углового ускорения а центростремительное всегда направлено от точки к полюсу.

Тогда для точек М₁, М₂, М₃ и М₄ получим , . Направления их показаны на рис. 8.7.

Рис. 8.7Рис. 8.8

Складывая в каждой точке три вектора, модули которых равны по 1 м/с², получаем м/с², м/с².

3. Определение положения МЦУ. Найти положение МЦУ (точки Q, ускорение которой равно нулю) можно на основании известных положений:

а) все ускорения составляют один и тот же угол β с направлениями из этих точек на МЦУ:

В данном случае tgβ = 1 и β = 45°. Повернув каждое ускорение на угол β по ходу углового ускорения, мы на пересечении лучей и получим точку Q (рис. 8.8). Итак, МЦУ колеса при принятых исходных данных оказывается на середине отрезка М₁M₄;

б) ускорения точек пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ:

В силу одинаковости расстояний до МЦУ в данном случае оказываются равны между собой модули ускорений , а также . Из всех точек колеса самое большое ускорение будет иметь точка D (рис.8.8):

Задача 8.3.2. Кривошип O A длиной 0,2 м вращается равномерно с угловой скоростью ω _OA = 10 с^–1 и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. ПолзунВ движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычислим скорость точкиА как точки вращающегося кривошипа:

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).

Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11

Скорость v_B ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его точек: А и В. Восставляя перпендикуляры к векторам этих скоростей, находим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускорение точкиА как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точкиА равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точкеО (рис. 8.11).

Для вычисления ускорения точкиВ воспользуемся теоремой о сложении ускорений, взяв точкуА в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точкиВ в относительном вращении вокруг точкиА по модулю равно , и направлено от точкиВ к полюсу — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определено однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедленным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направлением , а вектор направим перпендикулярно отрезку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точкиВ направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать движение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определенное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

Отсюда следует, что

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

Задания К-8

Для представленных на схемах 1— 30 механизмов, состоящих из шатуна АВ длиной 2 м и двух ползунов, по заданным величинам скорости и ускорения ползунаА определить скорость и ускорение ползунаВ и средней точки С шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна.