Движения механической системы с использованием теоремы об изменении кинетической энергии

 

12.1.Цели:

1. Выяснить область применения теоремы об изменении кине­тической энергии при исследовании динамического поведения механических систем.

2. Научиться вычислять кинетическую энергию твердого тела в различных случаях его движения и системы, состоящей из твердых тел.

3. Освоить методику применения теоремы об изменении кинетической энергии для определения динамических характеристик движения механической системы.

12.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Элементарной работой силы называется мера действия силы, равная скалярному произведению силы на элементарное перемеще­ние точки её приложения (дифференциал радиус-вектора)

 

      

или

.      

 

Элементарная работа силы является алгебраической величиной:

1) d'A>0, если угол между силой и перемещением меньше 90°;

2) d'A<0, если угол между силой и перемещением больше 90°;

3) d'A=0, если сила и перемещение точки ее приложения пер­пендикулярны.

При задании движения точки в прямоугольных декартовых ко­ординатах для вычисления элементарной работы силы используется формула

,

 

а при задании движения точки естественным способом - зависи­мость

 

,      

 

где - проекция силы на касательную к траектории точки; s- ду­говая координата.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси элемен­тарная работа сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

 

,   

 

где М _z - сумма моментов сил относительно оси вращения z;   - угол поворота.

Работой силы на конечном перемещении называется вели­чина, равная криволинейному интегралу от элементарной работы, взятому вдоль дуги М _O М, описанной точкой приложения силы при этом перемещении

 

.     

 

При задании движения точки в прямоугольных декартовых координатах работа силы вычисляется по формуле

 

,      

 

при задании движения точки естественным способом -

 

,       

 

где s₀, s - значения дуговой координаты точки приложения силы в начальном и конечном ее положениях.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

 

,    

 

где М _z - сумма моментов сил относительно оси вращения z, а φ₀ и φ - значения угла поворота в начальном и конечном положениях тела.

Мощностью силы называетсяфизическая величина, равная отношению произведённой рабо­ты к промежутку времени её совершения, т.е.

 

, 

 

где d'A - элементарная работа силы за элементарный промежуток времени dt.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси мощность сил, приложенных к телу, вычисляется по формуле

 

,       

 

где M_z- сумма моментов сил относительно оси вращения z;  = проекция угловой скорости тела на ось вращения.

 

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы на квад­рат ее скорости, т.е.    

. 

 

 

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех материальных точек, входящих в состав системы

,  

 

где m_k - масса, a v _k- скорость точки M_k (k - 1, 2, ..., п).

Кинетическую энергию механической системы можно предста­вить в виде

,                                          (12.1)

 

где М - масса системы; v _c - скорость центра масс; T’ - кинетическая энергия системы в ее движении относительно осей неизменного на­правления с началом в центре масс.

Соотношение (12.1) выражает теорему Кенига. Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: