Основы теории измерений. Многократные измерения и обработка их результатов

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

               по выполнению лабораторно-практической работы № 5 М

              «Методы обработки результатов прямых многократных

                                    равнорассеянных измерений»

  

  по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

                        для студентов всех специальностей университета

Редактор

Заф. кафедрой «СМиС»

                                                                                профессор Зайцев С.А.

 

 

Москва 2013 г

 

профессор, к.т.н. Грибанов Д.Д.

 

 

 

Настоящие методические указания предназначены для выполнения лабораторно-практической работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» студентами очного, очно-заочного и заочного отделения МГТУ «МАМИ».

    В работе представлены методы обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин, включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

    Методические указания преследуют цель помочь студентам освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений, определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону, определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений, а также приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешностей результатов измерений.

 

 

© Московский государственный технический университет «МАМИ»

© Грибанов Дмитрий Дмитриевич

 

Цель работы

Целью лабораторно-практической работы является обучение студентов методам обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин (ФВ), включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

Задачи работы

В процессе выполнения работы студенты должны:

2.1 Освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений.

2.2 Освоить методику определения наличия и исключения систематической погрешности результатов измерений.

2.3 Освоить методику определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону.

2.4 Освоить методику определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений.

2.5 Приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешности результатов измерений.

Порядок выполнения работы

Перед началом выполнения лабораторно-практической работы студент получает у преподавателя вариант задания с массивом результатов измерений (Приложение А), либо выполняет поставленную измерительную задачу с  получением измерительной информации при многократных измерениях реальным средством измерений и получает массив результатов.

Примечания к предлагаемым вариантам массивов:

- в  вариантах заданий представлены результаты таких многократных измерений, которые содержат (могут содержать) все три составляющих суммарной погрешности;

- условно принимается, что если в варианте задания присутствует систематическая погрешность, она в данном случае объясняется влиянием температуры, изменяющейся по линейному закону. Поправки от влияния температуры одинаковы для всех вариантов заданий.

 

Приложение А

                                          Варианты заданий

№1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	42,963	42,917	42,873	41,125	43,033	42,971	41,107	43,045	43,022
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′i	42,903	42,809	42,932	42,946	42.976	43,039	42,853	42,936	42,958
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,998	42,995	42,890	42,981	43,001	42,943	42,882	42,914	42,920
№2
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′l	43,000	43,016	43,025	53,045	46,012	42,900	42,845	42,889	42,959
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′l	42,971	42,930	42,860	42,874	42,945	43,003	42,952	42,833	42,903
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,996	46,001	42,896	42,839	42,982	43,035	43,133	42,911	42,936
№3
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′l	42,943	43,000	43,017	42,849	42,852	42,870	42,914	42,975	43,052
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′l	39,998	40,012	42,921	42,985	42,805	42,874	42,926	42,961	42,991
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	43,022	42,950	42,836	42,899	42,955	43,012	43,082	42,972	42,934
№4
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′i	42,953	42,888	42,868	45,990	43,000	42,908	42,926	42,970	42,781
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′i	42,973	43,007	45,998	42.960	42,808	42,895	42,981	43,039	42,989
I	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i ′i	43,064	42,877	42,903	42,912	42,957	42,967	42,849	42,881	42,942
№5
i	1	2		4	5	6	7	8	9
X′l	42,890	42,884	42,922	42,967	43,003	43,064	42,934	42.980	40.006
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′l	42,862	42,960	43,052	42.971	42,779	42,857	42,907	42,943	40,017
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,877	42,903	42,925	42,987	43,035	43,076	42,883	42,791	42,886

 

№6

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′i	42,970	43,034	43,073	43,096	42,951	42,018	42,842	42,867	42,914
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′i	42,985	43,009	43,043	43,076	42,988	42,936	42,818	42,848	42,894
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,942	43,005	43.026	43,065	43,818	42.998	42.958	42,883	42,828
№7
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′i	42,967	43,001	43,052	42,933	42,889	42,814	42,021	43,038	42,971
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′i	42,942	42.900	42,807	42,964	42,993	43,009	42,980	42,863	42,789
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,958	43,072	42,955	42,880	42,920	43,803	42,928	42,916	42,884
№8
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X′i	42,961	42,995	43,015	43,057	43,179	42,857	42,010	42,839	42,882
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X′i	42,926	42,905	42,819	43,033	43,900	42,935	42,870	42,890	42,811
I	19	20	21	22	23	24	25	26	27
X′i	42,929	42,071	42,909	42,847	42,879	42,966	42,998	43,020	43,047

 

Приложение Б

 

Пример оформления отчета по лабораторно-практической работе

Примечание - Пояснения по выполнению лабораторно-практической работы даны курсивом.

 

Цель работы _____________________________________________________________

 

                      _____________________________________________________________

                      _____________________________________________________________

Исходный массив результатов многократных измерений.

Исходный массив результатов многократных измерений выдается преподавателем из заданий № 1-8, либо формируется самим студентом, выполняя поставленную измерительную задачу с получением измерительной информации при многократных измерениях реальным средством измерений. Массив  заносится в таблицу 1 в виде вариационного ряда.

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi/	42,866	42,777	43,852	42,86	42,89	42,952	42,93	42,922	42,201
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Xi/	43,033	42,959	42,89	42,934	42,902	42,965	42,819	42,831	42,906
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Xi/	43,011	43,039	42,906	42,905	42,885	42,891	42,998	42,879	42,876

Заполняется сводная таблица результатов измерений

Таблица 2- Сводная таблица обработки результатов измерений

№ п/п					- Q i
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	42,866	0,003074	0,002213	0,007921	42,436	42,343	0,098320	0,00967
2	42,777	0,020864	0,018507	0,006889	42,344	42,344	0,097320	0,00947
3	43,852	0,865934				42,352	0,089320	0,00798
4	42,86	0,003775	0,002813	0,000900	42,421	42,367	0,074320	0,00552
5	42,89	0,000989	0,000531	0,003844	42,448	42,373	0,068320	0,00467
6	42,952	0,000934	0,001518	0,000484	42,507	42,388	0,053320	0,00284
7	42,93	0,000073	0,000288	0,000064	42,481	42,391	0,050320	0,00253
8	42,922	0,000000	0,000080	0,012321	42,470	42,411	0,030320	0,00092
9	42,201	0,519040				42,415	0,026320	0,00069
10	43,033	0,012445	0,014390	0,005476	42,575	42,421	0,020320	0,00041
11	42,959	0,001410	0,002112	0,004761	42,498	42,424	0,017320	0,00030
12	42,89	0,000989	0,000531	0,001936	42,426	42,426	0,015320	0,00023
13	42,934	0,000158	0,000439	0,001024	42,467	42,432	0,009320	0,00009
14	42,902	0,000378	0,000122	0,003969	42,432	42,436	0,005320	0,00003
15	42,965	0,001897	0,002700	0,021316	42,492	42,448	0,006680	0,00004
16	42,819	0,010495	0,008844	0,000144	42,343	42,467	0,025680	0,00066
17	42,831	0,008180	0,006731	0,005625	42,352	42,470	0,028680	0,00082
18	42,906	0,000239	0,000050	0,011025	42,424	42,481	0,039680	0,00157
19	43,011	0,008020	0,009596	0,000784	42,526	42,492	0,050680	0,00257
1	2	3	4	5	6	7	8	9
20	43,039	0,013819	0,015866	0,017689	42,551	42,495	0,053680	0,00288
21	42,906	0,000239	0,000050	0,000001	42,415	42,498	0,056680	0,00321
22	42,905	0,000270	0,000065	0,000400	42,411	42,507	0,065680	0,00431
23	42,885	0,001328	0,000786	0,000036	42,388	42,526	0,084680	0,00717
24	42,891	0,000927	0,000486	0,011449	42,391	42,551	0,109680	0,01203
25	42,998	0,005861	0,007218	0,014161	42,495	42,575	0,133680	0,01787
26	42,879	0,001802	0,001159	0,000009	42,373
27	42,876	0,002065	0,001372	0,000100	42,367
	S1158,879	S1,4852	S0,098	S0,1323	S1061,033	S1061,033	S1,3109	S0,0985

 

Примечание - В третью колонку заносятся все результаты измерений, а в четвертую - за исключением грубых погрешностей.

 

Построение гистограммы

Построение гистограммы начинается с определения числа интервалов h , на которые разбивается исправленный вариационный ряд результатов наблюдений x_i . В данном примере принимается h =5.

 Определяются ширина D x и половина ширины q интервала группирования:

D x = =0,0464,

q = =0,0232.

Определяется количество результатов измерений k , содержащихся в каждом интервале. Результаты заносятся в таблицу 3.

Таблица 3 - Таблица интервалов

j	Интервал	k
1	-¥ ... 42,366	3
2	42,366...42,413	5
3	42,413...42,459	7
4	42,459...42,505	6
5	42,505...42,552	3
6	42,552...+ ¥	1

Построение гистограммы:

 

 

Заключение: ___________________________________________________________________________

 

 

 

Критерий 1.

C помощью итога восьмой колонки сводной таблицы 2 определяется несмещенная оценка среднего квадратического отклонения:

s ^*= = =0,06277.

Воспользовавшись итогом седьмой колонки сводной таблицы, вычисляется параметр

=

По таблице 3.3 выбираются квантили d_1-q/2 и d_q/2 при принятой в технике доверительной вероятности Р=0,95. Для приведенных в примере значений результатов измерений неравенство   d _{1- q /2} < £  d_{q /2}, выглядит следующим образом:

 

                               0,7348< 0,8353< 0,8718.

Таким образом, первый критерий составного критерия удовлетворяется, т.е. закон распределения соответствует нормальному.

Заключение о соответствии по критерию 1:

___________________________________________________

 

Критерий 2.

По таблице 3.4 для числа измерений n =25 и вероятности Р=0,95 определяется число разностей m и значение верхней квантили z_{p /2} : m =2, z_{p /2} =1,960.

Определяется произведение z_{p /2} × s :

z_{p /2} × s = 1,960 × 0,064=0,1255.

Полученное значение произведения сравнивается с разностями седьмой колонки сводной таблицы.

 

Заключение о соответствии по критерию 2: _____________________________________________________

 

Общее заключение по составному критерию: _____________________________________________________________________________

 

Приложение В

 

 Отчет по лабораторно-практической работе №

 

Цель работы _____________________________________________________________

 

                    _____________________________________________________________

Таблица 1 - Исходный массив результатов многократных измерений

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi/
i	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Xi/
i	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Xi/

Таблица 2 - Сводная таблица обработки результатов измерений

№ п/п					- Q i
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
	S=	S=	S=	S=	S=	S=	S=	S=

 

Построение гистограммы

                                             h =

 

                               ∆х=( x_max - x_xmin )/ h

                                       q =

Таблица 3 - Таблица интервалов

j	Интервал	k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

 

 

Заключение: ___________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________________________

 

 

Критерий 1.

                                       s ^* = =  

                                =

при доверительной вероятности  Р=

                                    d _{1- q /2} =

                                      d_{q /2} =

 

                               d _{1- q /2} < £  d_{q /2},         

 

Заключение о соответствии по критерию 1:

 

Таким образом, первый критерий составного критерия ………………, т.е. закон распределения…………………………………...........................            

 

 

Критерий 2.

Для числа измерений   n=…..  и вероятности    Р=…..             m=………

 

                          z_{p /2} =

                                   z_{p /2} × s =

 

Заключение о соответствии по критерию 2:

_____________________________________________________

 

 

Общее заключение по составному критерию: _____________________________________________________________________________

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

               по выполнению лабораторно-практической работы № 5 М

              «Методы обработки результатов прямых многократных

                                    равнорассеянных измерений»

  

  по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация»

                        для студентов всех специальностей университета

Редактор

Заф. кафедрой «СМиС»

                                                                                профессор Зайцев С.А.

 

 

Москва 2013 г

 

профессор, к.т.н. Грибанов Д.Д.

 

 

 

Настоящие методические указания предназначены для выполнения лабораторно-практической работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и сертификация» студентами очного, очно-заочного и заочного отделения МГТУ «МАМИ».

    В работе представлены методы обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин, включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

    Методические указания преследуют цель помочь студентам освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений, определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону, определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений, а также приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешностей результатов измерений.

 

 

© Московский государственный технический университет «МАМИ»

© Грибанов Дмитрий Дмитриевич

 

Цель работы

Целью лабораторно-практической работы является обучение студентов методам обработки результатов прямых многократных равнорассеянных измерений физических величин (ФВ), включающих грубые, случайные и систематические погрешности результатов измерений.

Задачи работы

В процессе выполнения работы студенты должны:

2.1 Освоить методику определения наличия грубых погрешностей прямых многократных равнорассеянных результатов измерений.

2.2 Освоить методику определения наличия и исключения систематической погрешности результатов измерений.

2.3 Освоить методику определения проверки соответствия распределения результатов измерений и случайных погрешностей нормальному закону.

2.4 Освоить методику определения границ доверительного интервала случайной погрешности результатов измерений.

2.5 Приобрести практические навыки по оценке суммарной, случайной и систематической погрешности результатов измерений.

Основы теории измерений. Многократные измерения и обработка их результатов

Работа является продолжением лабораторной работы № М “Однократные измерения”, поэтому основные положения теории измерений, характеристик методов и средств измерений физических величин, как разделов метрологии, представлены в [6].

В тоже время случайную и систематическую составляющие погрешности результатов измерений, а также грубую погрешность можно оценить лишь выполнив многократные измерения одной и той же детерминированной (неизменной) физической величины.

Как известно, результаты измерений  называются равнорассеянными (равноточными), если они являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Обработка результатов прямых равноточных наблюдений производится в соответствии с ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями».

Проверка гипотезы о равноточности (равнорассеянности) результатов многократных измерений может проводиться с помощью различных критериев, например, Фишера, Романовского и др.

С помощью критерия Фишера проверяется гипотеза о том, что два ряда, состоящие из n ₁ и n ₂ результатов измерений, являются равноточными.

Сущность проверки заключается в том, что определяются эмпирические дисперсии s ₁ s ₂ для каждого ряда по следующим формулам:

 и                                                         (3.1).

Затем определяется дисперсионное отношение F _эксп = S ₁ / S ₂, где S ₁ должно быть большим S ₂ , т.е. S ₁ > S _2.

Измерения принимаются равноточными, если значения F _эксп не попадает в критическую область, т.е. F _эксп < F_q.

Значения F_q для различных уровней значимости q и степеней свободы k ₁ = n ₁ -1 и k ₂ = n ₂ -1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям.

Уровень значимости определяется как разница между 1 и принятой доверительной вероятностью: q =1- p .

Конечной задачей обработки результатов любых измерений является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности.

Причем оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Как уже было сказано выше, оценка является состоятельной если при n, стремящимся к бесконечности, оценка стремится к истинному значению ФВ, несмещенной - математическое ожидание равно оцениваемому параметру, эффективной - ее дисперсия меньше любой, получаемой другим способом.

       Результаты измерения  в общем случае могут содержать систематическую , случайную  и грубую  погрешность. Результаты измерений, содержащие систематическую погрешность, в литературе обычно обозначаются знаком «´». Учитывая это обозначение, можно представить результат измерения следующим образом:

=                                                                                        (3.2).

На первом этапе обработки результатов измерений оценивают наличие промахов (или грубых погрешностей). Промах - случайная погрешность результата отдельного наблюдения, которая для данных условий резко отличается от отдельных результатов этого же ряда.

Оценка наличия грубых погрешностей решается методами математической статистики – статистической проверкой гипотез. Суть методов заключается в том, что выдвигается нулевая гипотеза относительно результата измерения, который вызывает сомнение в его правильности и может рассматриваться как промах в связи с большим отклонением от других результатов измерения. Нулевая гипотеза заключается в утверждении, что «подозрительный» результат в действительности принадлежит к совокупности полученных в данных условиях результатов измерений, и получение такого результата вполне вероятно. Используя определенные статистические критерии, пытаются доказать ее практическую невероятность, т.е. опровергнуть нулевую гипотезу. Если это удается, сомнительный результат исключается из дальнейшего рассмотрения. На практике часто руководствуются рекомендацией: первый и последний результаты измерений исключают из ряда полученных.

Для исключения грубых погрешностей используются критерии Греббса (Смирнова), Шарлье, Шовенэ и др.

В определенных случаях погрешность может считаться промахом, если она превышает 3s.

Затем проводится анализ наличия систематических погрешностей в ряде измерений , их обнаружение и исключение из результатов наблюдений. Получается исправленный ряд результатов наблюдений: .

Постоянные систематические погрешности не влияют на значение случайных отклонений результатов наблюдений от средних значений. Поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не позволяет их обнаружить. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях.

Прогрессирующие систематически погрешности могут быть обнаружены при помощи построения графика последовательности неисправленных результатов наблюдений или их отклонений от среднего значения.

Систематические погрешности, изменяющиеся в процессе измерения, могут быть обнаружены аналитическими методами. Суть этих методов заключается в проверке статистической подконтрольности принятой гипотезы. Для этого могут быть использованы критерии Аббе или Бартлетта.

Рассмотрим сущность критерия Аббе.

После исключения грубых погрешностей определяется значение параметра q_эксп.

;                                                     (3.3).

Следующим шагом проверятся условие q_эксп.< q_табл. Если это условие выполняется, то систематическая погрешность присутствует. Значения параметра q_табл представлены в таблице 3.1.

Проверка наличия систематической погрешности в ряде измерений может быть осуществлена с помощью регрессионного анализа для выяснения характера зависимости группового среднего от некоторого неслучайного аргумента (например, времени, контролируемой температуры, давления и др.), а также корреляционного анализа для обнаружения связи между результатами наблюдений и значениями измеряемой ФВ.

   Таблица 3.1 - Значения параметра q_табл. при  количестве измерений n

n	qтабл	n	qтабл
4	0.3902	13	0.5778
5	0.4102	14	0.5908
6	0.4451	15	0.6027
7	0.4680	16	0.6137
8	0.4912	17	0.6237
9	0.5121	18	0.6330
10	0.5311	19	0.6417
11	0.5482	20	0.6498
12	0.5636	25	0.6836

 

Изучение методов регрессионного и корреляционного анализа, которые достаточно сложны, в данных методических указаниях не рассматриваются.

Естественно, что лучше сразу получать результаты измерений без систематической погрешности или с небольшой погрешностью. Полностью исключить систематическую погрешность в процессе измерений, как правило, не удается. Однако существуют специальные приемы, обеспечивающие исключение части систематической составляющей погрешности измерений. Рассмотрим основные из этих приемов.

Если систематические погрешности считаются постоянными по характеру проявления, то применяют один из следующих  методов:

1) Исключение самого источника систематической составляющей погрешности измерений. Например, путем предварительной установки измерительного прибора по уровню исключают погрешность от его неуравновешенной подвижной части.

2) Компенсация погрешности по знаку. Например, погрешность за счет вариаций показаний прибора исключают, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа, а затем вычисляют среднее значение.

3) Проводят симметричные измерения. Например, для исключения погрешностей от гистерезиса, проходят по шкале вверх и вниз, так называемый «прямой» и «обратный» ход, а затем результаты усредняются.

Систематическая погрешность, изменяющаяся в процессе измерения и обнаруженная статистическими методами, может быть в значительной степени скомпенсирована только в случае знания закона ее изменения. Например, зависимость от температуры. Для выяснения характера зависимости группового среднего систематической погрешности используется регрессивный анализ, а для обнаружения связи между систематической погрешностью и измеряемой физической величиной используют корреляционный анализ. Изучение методов корреляционного анализа выходит за рамки рассматриваемых вопросов т.к. они достаточно сложны и для изучения требуют большего количества времени.

12345Следующая ⇒

Поделиться: