Применение объемного интегрального уравнения к расчету плоского экрана

В предыдущем разделе мы рассмотрели метод объемного интегрального уравнения для расчета электромагнитных экранов произвольной формы численными методами. Рассмотрим теперь простой пример получения аналитического решения. На рис. 15.1 представлен фрагмент плоского экрана из однородного немагнитного материала с комплексной диэлектрической проницаемостью e_r.

 

 

 

Рис. 15.1. Фрагмент плоского экрана

 

 

Уравнение для рассматриваемого случая имеет вид:

 

,           (16.1)

где интегрирование распространяется на весь объем плоского слоя 0< z < d (d - толщина экрана), а R в аргументе функции Грина (15.7) – расстояние от точки наблюдения  до точки интегрирования  ( , ÎV_э). Интегрирование удобно вести в цилиндрических координатах с началом в точке наблюдения:

r=|x-x_v|²+|y-y_v|²,    .

Ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность экрана z=0:

.                                 (16.2)

Решение ищем в виде суперпозиции двух плоских волн внутри слоя:

.                      (16.3)

Интеграл (16.1) с учетом введенных переменных и представления решения в форме (16.3) можно записать в виде:

. (16.4)

Внутренний интеграл вычисляется аналитически. G(R) ( ) от угловой координаты не зависит.

.    (16.5)

Для преодоления неопределенности при подстановке верхнего предела можно применить принцип предельного поглощения. Это означает, что все соотношения рассматриваются при комплексной диэлектрической проницаемости , а в конечных формулах осуществляется конечный переход a®0. Благодаря этому в (16.5) подстановка верхнего предела дает нуль, поскольку волновое число к_е содержит небольшую отрицательную мнимую составляющую, и результат интегрирования оказывается равным:

.                                 (16.6)  

Интеграл (16.4) зависит от поперечных координат и оператор div в (16.1) равен нулю и поэтому само это уравнение превращается в скалярное относительно проекций полей на ось x:

.  (16.7)

Для нахождения неизвестных амплитуд E_it  и E_is  в выражение для внутреннего поля E_i(z) следует подставить (16.3) в (16.7). Область интегрирования по z_v необходимо разбить на две части: z_v<z и z_v>z.

. (16.8)

Последовательно получим значения отдельных интегралов:

  (16.9)

     (16.10)                                                                                                                    

Складывая (16.9) и (16.10) и проводя элементарные преобразования, значение (16.8) можно записать в виде:

(16.11)

(0<z<d)

 

Т.е. интегрирование восстанавливает с точностью до постоянного множителя внутреннее поле, E_i(z) и дает дополнительно две волны, распространяющиеся во внешней среде в положительном и отрицательном направлении оси z. Можно увидеть, что подстановка в (16.7) приводит к сокращению E_i(z) в уравнении. Оно превращается в функциональное уравнение:

   (16.12)

В этом уравнение постоянные коэффициенты при двух линейно независимых функциях exp(-ik_ez) и exp(ik_ez) должны быть равны нулю. Отсюда следует следующая система двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов E_it  и E_is:

 

(k + k_e)E_it - (k - k_e)E_is= 2k_eE_0t,

(16.13)

(k - k_e)e^-ikd E_{i t} – (k + k_e)E_ise^ikd = 0,

 

решение которой дает следующие значения неизвестных коэффициентов E_it  и E_is:

,                (16.14)

.                (16.15)

Интересно, что если бы решение данной задачи осуществлялось на основе обычного подхода с использованием граничных условий непрерывности касательных составляющих электрического и магнитного поля на границах раздела сред z = 0 и z = d, то пришлось бы решать систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Т.е. использование интегрального уравнения приводит к сокращению размерности задачи, хотя за это приходится платить некоторой предварительной процедурой вычисления интегралов.

По вычисленному внутреннему полю, можно найти поле, рассеиваемое экраном как в области z < 0 (перед экраном). Так и z ³ d (за экраном). Поле за экраном складывается из поля Е₀ и поля E_es, рассеиваемого экраном:

.                                       (16.16)

Поле E_es вычисляется по формуле:

(16.17)

Подставляя сюда выражения для коэффициентов (16.14) и (16.15) получим:

.     (16.18)

Полное поле за экраном после подстановки (16.18) в (16.16) окончательно запишется таким образом:

. (16.19)

Можно показать, что с учетом магнитных свойств формула усложняется незначительно:

. (16.20)

 

Контрольные вопросы

1. Чему равно поле тонкого плоского слоя синфазных токов поляризации?

2. Как применяется принцип предельного поглощения для преодоления неоднозначности представления этого поля?

3. Как определяется амплитуда падающей и отраженной волны внутри экранирующего слоя?

4. Какой системе уравнений удовлетворяют искомые амплитуды?

5. За счет чего уменьшается размерность алгебраической системы уравнений при использовании объёмного интегрального уравнения?

6. Как одной формулой описывается поле рассеяния за экраном и перед экраном?

7. Как записывается поле за экраном?

8. Как изменяется представление рассеянного поля при наличии у экрана магнитных свойств?

 

 

Лекция 17

 

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться: