Надежность оборудования при поэлементном резервировании

Раздельное резервирование с постоянно включенными резервными элементами представляет собой последовательно соединенные элементы, каждый из которых резервируется с кратностью т. Определим выражение для вероятности безотказной работы такой системы при условии, что восстановление отказавших элементов не производится. Поскольку система при таком способе резервирования представляет собой последовательное соединение N групп элементов, каждая из которых состоит из одного элемента основной системы и т резервных элементов, вероятность безотказной работы системы равна:

 где P_i(t) – вероятность безотказной работы i-й группы элементов.

Вероятность безотказной работы i-й группы элементов вычислим через вероятность отказа Q_i(t). Поскольку отказ любой из групп элементов наступит только при отказе основного элемента ит резервных, вероятность отказа равна:

 

где q_i(t) – вероятность отказа j-го элемента i-й группы. Следовательно,

 

Подставив полученное выражение в формулу (5.18), определим вероятность безотказной работы системы резервированной методом замещения:

 

 

Если надежность резервных элементов равна надежности основного элемента, полученная формула приобретает вид:

 

 

При условии, что все элементы системы равнонадежны, формула упрощается:

 

Проанализировать изменение вероятности безотказной работы во времени по данной формуле возможно только при известном выражении для функции p(t).В том случае, если надежность элементов подчиняется экспоненциальному закону, вероятность безотказной работы равна:

 

 

Графики P_с(t), рассчитанные по полученной формуле при различных кратностях резервирования для системы, состоящей из двух элементов, приведенына рис. 5.13.

 

Полученное выражение для вероятности безотказной работы может служить основой для определения других параметров надежности. В частности, выражение для среднего времени безотказной работы определяют путем интегрирования Р_с(0) в пределах от 0 до ¥, т. е.

 

 

 

m=23

m=3

Pc(t)

0, 9

0, 7

0, 5

0, 3

0, 13

0

1, 2

2, 4

3, 6

4, 8

λ t

N=2

m=1

m=0

Рис. 5.13 Зависимость вероятности безотказной работы

системы из двухэлементов от времени

 

Введемв качестве новой переменной вероятность отказа . Тогда ,  и

 

                                         

Вычисляя  при различных значениях N и возвращаясь к прежней переменной, получим для N = 1

 

 

Значение  для произвольных значений N можно вычислить по следующей формуле:

где

Полученная для формула справедлива при сделанных выше допущениях о надежности элементов резервированной системы и пригодна для вычислений при любых значениях т и N. Однако практическое применение этой формулы при большом числе элементов неудобно. Поэтому при расчете надежности сложных систем с большим числом резервируемых элементов применяется другое выражение, которое в данном случае приводится без вывода:

где Г(х) – гамма-функция.

Значения гамма-функции для малых чисел определяются по таблицам и известному соотношению:

 

Для определения гамма-функции больших чисел можно пользоваться приближенным равенством:

 

Аналогично могут быть определены остальные параметры надежности резервированных систем при поэлементном резервировании. Конечные выражения, определяющие частоту и интенсивность отказов, равны:

 

 

Определим основные параметры надежности систем, резервированных методом замещения в случае поэлементного резервирования замещением (рис. 5.3). Как следует из этого метода, отказ системы возможен только при наличии отказа хотя бы одного из N, последовательно соединенных элементов системы, и всех элементов, резервирующих данный элемент основной системы. Поэтому вероятность безотказной работы системы равна:

где P _с(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента системы и всех элементов, резервирующих i-й элемент.

 Вероятности P_i(t), как и в случае постоянно включенного резерва, определяют по формуле:

При резервировании замещением возможны три режима работы резервных элементов: нагруженный, облегченный и ненагруженный. Приведем выражения для количественных параметров надежности при поэлементном резервировании замещением для нагруженного и ненагруженного резерва. В нагруженном режиме надежность систем при раздельном резервировании замещением определяется так же, как и надежность систем с поэлементным резервированием при постоянно включенном резерве выражения (5.19), (5.21)–(5.23).

Если предположить, что надежность основных и резервных элементов одинакова и подчиняется экспоненциальному закону надежности, в ненагруженном режиме выражение для вероятности безотказной работы системы по аналогии с формулой (3.16) примет вид:

 

где λ _i– интенсивность отказов элементов i-го типа.

Другие параметры надежности систем при резервировании замещением можно определить, используя известные аналитиче­ские соотношения, связывающие вероятность безотказной работы системы с искомыми параметрами.

Для расчета надежности должна быть определена структурная схема надежности объекта, которая представляет собой формализованную структуру объекта с учетом его работоспособных состояний и составляется на основе следующих соображений.

Если отказ определенного элемента приводит к отказу некоторой части объекта, то такие элементы считаются, с точки зрения надежности, соединенными последовательно с элементами этой части объекта. Если отказ любого элемента приводит к отказу всего объекта, то все элементы являются включенными последовательно. Если отказ элемента не приводит к отказу рассматриваемой части объекта, то элементы этой части считаются включенными параллельно. Структурная схема надежности составляется на основе анализа структурной или функциональной схемы объекта.

Известно, что при последовательном включении элементов объекта, состоящего из N элементов вероятность безотказной работы равна:

 

а при параллельномвключении

                                     

 

на основании которых ранее изложенными методами могут быть определены остальные количественные характеристики надежности.

При смешанном соединении элементов для составления структурной схемы надежности на первом этапе выделяют те части объекта, элементы в которых соединены последовательно и рассматривают каждую такую часть как некий эквивалентный элемент. На втором этапе определяют эквивалентные элементы тех участков, в которых составляющие эти участки элементы соединены параллельно. И, наконец, приходят к эквивалентной схеме структурной схемы надежности объекта в целом.

На примере структурной схемы или составления надежности объекта(рис. 5.14), преобразуем соединение ее элементов. Поскольку элементы 1 и 2, 4 и 5 соединены последовательно, а элементы 6 и 7 параллельно, то эквивалентной структурной схемой на первом этапе будет соответствовать схема, представленная на рис. 3.14 а, б.

1

2

3

4

5

6

7

а

4

5

1, 2

3

6, 7

б

1, 2, 3

4, 5

6, 7

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

в

г

Рис. 5.14. Пример составления структурной схемы

 

Заменяя далее параллельно включенные эквивалентные элементы 1, 2 с элементом 3 эквивалентными элементами 1, 2, 3, приходим к окончательному виду структурной схемы надежности на рис. 3.14 в, г.

Использование рассматриваемого подхода часто позволяет получить при расчете надежности более корректные результаты.

Приведем известные примеры резервированных систем.

Пример 5.2. Для системы централизованной заправки топливом установлено четыре топливных насоса ( т = 4) с производительностью 100 т топлива в час каждый и интенсивностью отказов λ = 5·10^–41/ч. За период между очередными профилактическими работами насосы должны иметь наработку 600 ч. Какова должна быть кратность резервирования и минимальная производительность системы, если задана вероятность обеспечения этой производительности в конце межрегламентного периода

р_зд(600)=0, 90?

Решение. Для j работающих насосов

 

определяются вероятности безотказной работы не менее четырех (min=4), насосов:

 

не менее трех

 

не менее двух из всей группы (4)

 

Следовательно, с вероятностью 0, 914 за межпрофилактический период станция обеспечит подачу топлива не менее 200 т за 1 ч. Эта подача является расчетной для станции, насосы которой проходят плановую профилактику через 600 ч наработки. При этом кратность резервирования насосов

 

 

Пример 5.3. Заданная кратность резервирования тяги двигателей самолета К=1расчетное время одного полета самолета t_п=10 ч, интенсивность отказов двигателя λ =2·10^–31/ч. Сколько двигателей следует установить на самолет, если их суммарная минимально допустимая тяга должна быть обеспечена с вероятностью Р = 0, 9999?

Решение. При заданной кратности резервирования число двигателей на самолете должно быть только четным, равным 2 или 4, или 6... По (5.6) определяем вероятности безотказной работы не менее одного из двух, не менее двух из четырех и т. д. двигателей.

Для двух двигателей

 

 

Поскольку это значение меньше заданного, следует оценить результат установки четырех двигателей:

 

 

Следовательно, установка четырех двигателей при кратности резервирования по тягеК=1удовлетворяет поставленной задаче. В противном случае следовало бы оценить надежность шести двигателей.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Дайте анализ методов обеспечения надежности на этапах проектирования и изготовления авиационного оборудования.

2. Приведите классификацию методов резервирования.

3. Проанализируйте характеристики надежности при общем резервировании.

4. В чем заключаются преимущества и недостатки при общем резервировании замещением?

5. Сравните методы обеспечения надежности при поэлементном замещении с другими методами резервирования.

6. Объясните основные правила составления структурной схемы надежности объекта.

Глава 6

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться: