Точность и достоверность статистических

Оценок показателей надежности

 

Число однотипных устройств, находящихся в эксплуатации или поставленных на испытания, а также время наблюдения за ними являются величинами ограниченными. Поэтому все статистические показатели надежности следует рассматривать как величины приближенные. Более того, эти величины являются и случайными: вычисленные в различных организациях по техническому обслуживанию ОТОдля однотипных устройств данные характеристики будут различными.

Приближенное значение показателя надежности, рассчитанное по статистическим данным эксплуатации, называется оценкой этого показателя.

Оценка показателя надежностиа* имеет определенный закон распределения, как всякая случайная величина. Этот закон зависит от закона распределения исследуемых событий отказов, от неизвестного показателя β и числа N опытов.

Для характеристики точности оценок используют рассмотренные выше понятия доверительных вероятностей и доверительных интервалов.

Было отмечено, что при оценкедоверительных вероятностей получило распространение распределение плотности вероятности величины χ ²с 2п степенями свободы, т. е. распределение плотности вероятности появления не менее потказов за относительное времяχ ².

 

 

Распределение χ ² зависит от числа «степеней свободы» r. Это число степеней свободы равно числу независимых опытов k (или разрядов, на которые делится совокупность опытных данных) минус число независимых условий (" связей" ). Примерами таких условий могут быть:

где статистическая вероятность (частота) события в i-м опыте.

 реализация случайной величины в i-м опыте.

Для (6.30) r = 2п.

Кривая распределения  имеет вид, показанный на рис. 3.5, 3.6.

 

Вероятность того, что , можно записать так:

Вероятность того, что

Вероятность того, что действительное значение лежит в пределах

.

 

Обычно берут  ₁=  ₂=(  /2)=(1 – β )/2.Тогда

 

 

Поскольку при этом , то при данной доверительной вероятности, полагая относительное время , запишем

 

или

где суммарное время наработки всех устройств; в течение  среди них появилось потказов.

Значения  и находятся по табл. Приложения 2 (для r=2n) .

Пример 6.2. Десять автопилотов (n = 10) имеют следующие наработки до отказов: 6, 23, 35, 51, 37, 54, 44, 62, 68, 80. С доверительной вероятностью  = 0, 9 найти значение доверительного интервала для среднего времени безотказной работы .

Решение.

Из табл. Приложения 2 при r=2n= 2*10  находим:

 

Из (6. 32) имеем

или

 

На практике часто требуется знать лишь нижнюю доверительную границу среднего времени с вероятностью , которая определяется как

где = 1 – β.

Пример 6.3. Испытывалось 40 изделий. За общую наработку

= 22 920 ч произошло 15 отказов. Найти нижнюю доверительную границу средней наработки на отказ с вероятностью β = 0, 9.

 

Решение. Из табл. приложения 2 при r = 2п = 30 и при  = 1 – β =0, 1 находим .

Согласно (6.33)  

Имея доверительные границы для , можно определить доверительные границы для вероятности безотказной работы:

.

 

Пример 6.4. При условиях предыдущей задачи найти доверительные границы для вероятности безотказной работы и за 100 ч работы изделия.

 

Решение. Имеем: β = 0, 9,  /2 = 0, 05, 1 –  /2 = 0, 95.

Из табл. приложения 2:

 

 

Отсюда границы доверительного интервала для :

 

или

.

 

Доверительные границы для вероятности безотказной работы:

 

Границы доверительного интервала наработки устройства до заданной вероятности безотказной работы оцениваются следующим образом:

_t

 

;

 

Подставив в (6.26), получим:

 

 

В случае одностороннего интервала

 

 

Нередко при испытаниях на надежность высоконадежных изделий за время испытаний t_и отказы не возникают, т. е. п = 0. Однако при этом требуется определить нижнюю доверительную границу для средней наработки до отказа  с доверительной вероятностью β.

При экспоненциальном законе надежности вероятность безотказной работы для N испытываемых изделий за время t

 

Приравняв это выражение минимальному значению вероятности 1 – β, получим соотношение для определения искомой нижней доверительной границы:

откуда

(6.30)

где  – суммарная наработка N изделий за время испытаний t_и.

Пример 6.5. За время t_u = 500 ч для тридцати изделий (N = 30) отказов не было. Найти нижнюю доверительную границу для средней наработки на отказ и вероятность безотказной работы изделия при доверительной вероятности β = 0, 9.

Решение. Согласно (6.37):  

 

 

Расчет доверительных границ при различных распреде лениях. Вспомогательная функция обеспечивает определение доверительных границ для характеристик функций случайных величин, имеющих распределения Пуассона и экспоненциальное. Для других законов распределения используются другие вспомогательные функции или их комбинации.

Так, в случае нормального закона распределения для оценки доверительных границ математического ожидания случайной величины часто используется закон распределения Стьюдента(Прил.3), а для среднего квадратического отклонения – распределение .

Определение доверительных границ для математического ожидания и среднего квадратического отклонения наработки до отказа (или времени ресурса) изделия при нормальном законе распределения основано на использовании следующей методики.

Пусть для N однотипных изделий зафиксирована случайная величина времени наработки до отказа, распределенная по нормальному закону с неизвестными средним временем наработки до отказа T₀ и дисперсией D_rДля этих параметров получают статистические оценки:

 

После этого определяют доверительные интервалы для обоих параметров.

 

 

Расчет доверительного интервала для математического ожидания  Обозначим половину длины доверительного интервала, симметричного относительно . При этом должно выполняться условие

 

 

В левой части этого равенства надо перейти от случайной величины к случайной величине , распределенной по закону Стьюдента (которая зависит только от числа опытов N и от вида закона распределения). С этой целью следует умножить обе части неравенства (6.31) на  Тогда

 

Случайная величина, распределенная по закону Стьюдента [9], имеет вид

Обозначим

Тогда вместо (6.31) можно записать

Плотность распределения Стьюдента с r = N— 1 степенями свободы

 

где Г(х) - гамма-функция.

Функция (6.35) четная, поэтому вместо (6.34) запишем выражение

 

 

Этим равенством определяется значение t _p в зависимости от  (и от числа ).

В табл. Прил. 3 приведены результаты вычисления t _p , т. е. значения в зависимости от  и числа N— 1.

Определив  по (6.33), найдем

.                                  (6.37)

и границы доверительного интервала:

 

≤

 

Пример 6.6. Получены данные о временах безотказной работы для 10 (N = 10) изделий. При этом = 5560 ч; = 6, 25 · 10⁴ ч². Требуется определить доверительные границы для T₀при  = 0, 96.

Решение. По табл. приложения 3 для N-1 = 9 и  = 0, 96 находим

 = 2, 26. Из (6.37) определим

Из (6.38) с вероятностью  = 0, 96 получим 5381 < T₀< 5739.

Расчет доверительного интервала для дисперсии. Случайную величину можно выразить через V, имеющую распределение :

 

Тогда границы доверительного интервала для дисперсии с вероятностью  определяются неравенством:

Пример 6.7. Для условий предыдущего примера найти доверительные границы для дисперсии D_T при  = 0, 9.

Решение.

 /2 = ( Из табл. Прил. 2 при N—1 = 9 находятся ;

Согласно (6.40) с доверительной вероятностью  = 0, 9:

 

или

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться: