Надежность изделий при полном восстановлении процессов их функционирования

 

На схеме процессов функционирования с полным восстановлением отказавших изделий (рис. 4.2) изображено N процессов их функционирования. После отказа изделие восстанавливается до уровня нового в результате ремонта или замены. При этом на установочном месте начинает работать новое изделие, для которого отсчет наработки начинается с нуля в момент его установки (например, в момент t₁для процесса функционирования номер 4).

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

х

tл

t1

0

2

4

6

8

N

t

 

Рис. 4.2. Схема функционирования с полнымвосстановлением отказавших изделий

 

Следовательно, по оси абсцисс t отсчитывается не наработка конкретного изделия, а время процесса функционирования последовательности изделий, включаемых в этот процесс одно за другим после отказа предыдущего изделия.

Общая длительность процесса функционирования равна времени работы t лидирующего изделия (т. е. того, которое еще не имело отказа). Если в процессе эксплуатации происходит отказ лидирующего изделия, то лидирующим становится изделие, наработка которого максимальна на данный момент времени. Однако отсчет времени t ведется с момента начала работы первого лидирующего изделия, т.е. с момента начала всех процессов функционирования. Таким образом, t_л есть общая наработка изделий в качестве лидирующих. Очевидно, что

Рассматриваемый случай (рис. 4.2) представляет собой схему восстанавливаемых процессов функционирования изделия, т. е. схему при полном восстановлении отказавших изделий. По существу здесь рассматривается функционирование посадочного места для изделия. Например, функционирование светильника при отказах в нем ламп, функционирование системы электроснабжения самолета при отказах генераторов и т.д. Здесь можно также говорить вместо восстанавливаемых изделий о восстанавливаемом процессе функционирования.

Достоинством схемы с полным восстановлением изделий является возможность получения не только статистических, но и математических зависимостей для характеристик надежности (в отличие от первой схемы). Однако основной недостаток схемы состоит в том, что не учитывается реальное состояние изделия после каждого его ремонта.

В момент все испытываемые изделия во всех N₀ процессах функционирования имеют наработку, равную нулю. По мере наработки возникают отказы и, соответственно, замены отказавших изделий новыми. Моменты отказов и замен являются случайными. Число таких событий в каждом из процессов функционирования случайно. Поэтому по мере удаления наработки лидирующего изделия от начала координат возрастают разности в наработках изделий, работающих в данный текущий момент t _n в различных процессах функционирования. В результате одновременно в парке N функционирующих изделий работают изделия различных " возрастов", причем сам " возраст", т.е. наработка изделий, является случайным.

Среднее число отказов (восстановлений) за наработку процесса функционирования изделия. Пусть в эксплуатации учитывается N₀ восстанавливаемых процессов функционирования (рис. 4.2), времена наработки которых одинаковы. Для любого из этих N₀процессов изделие, проработав с момента t = 0 случайное время (рис. 4.3), отказывает и мгновенно заменяется новым. Это новое изделие, проработав случайное время, отказывает и заменяется новым и т.д. Этот процесс продолжается неограниченно долго.

Времена τ ₁ τ ₂, ... безотказной работы изделий в процессе функционирования являются независимыми и, поскольку изделия однотипны и работают в одинаковых условиях, одинаково распределены с плотностью вероятностиf(t). Моменты отказов (восстановлений)

образуют случайный поток отказов (восстановлений). Характеристики такого потока могут быть получены при наблюдении достаточно большого числа одинаковых процессов функционирования за короткое время или даже одного процесса за длительное время, поскольку процесс является эргодическим.

t

τ 1

T1

τ 2

τ n

τ n+1

T2

Tn

Tn+1

0

t

τ n-1

(t –τ )=Tn-1

 

Рис. 4.3. Случайные моменты отказов (восстановлений)

процесса функционирования изделий (посадочного места)

 

В рассматриваемом процессе среднее число отказов (восстановлений) за наработку t можно определить следующим образом. Вероятность того, что число отказов n(t)за время t будет больше или равно n, можно записать так:

 

 

где Q (t)представляет собой функцию распределения времениT, в течение которого число отказов будет не менее n.

Если в момент t –τ произошел ( n — 1)-й отказ (восстановление), то с вероятностьюf(τ )Δ τ новое изделие откажет не менее одного раза на интервале времени Δ τ. Здесь f(τ ) – плотность вероятности отказа нового изделия.

Следовательно, вероятность появления не менее потказов за время tпри условии, что в момент t –τ произошел (n — 1)-й отказ

где –вероятность появления не менее n – 1отказов к моменту . Очевидно, что вероятность появления не менее n = 0 отказов, т.е. вероятность полной группы событий (n=0; 1; 2;...)

 

Вероятность появления не менее одного отказа (п = 1; 2; …), т.е. вероятность отказа изделия за время t, как следует из (4.8) и (4.9), равна заштрихованной площади (рис. 4.4):

t

f(t)

0

t1

Δ t

Рис. 4.4. Вероятность появления не менее одного отказа

 

Вероятность появления ровно потказов в соответствии с (4.7) равна разности вероятностей появления не менее п и n+1 отказов:

 

 

Из (4.11) и (4.9) следует выражение для вероятности безотказной работы за время t:

Искомое среднее число отказов n_c(t)за время t, т. е. математическое ожидание числа отказов:

или с учетом (4.11)

Таким образом, среднее число отказов (восстановлений) при наработке t восстанавливаемого процесса функционирования равно сумме вероятностей появления за наработку t не менее потказов:

 

 

В случае экспоненциального закона распределения вероятность появления ровно потказов имеет вид:

Тогда из (4.12) и (4.14) следует:

 

 

Следовательно, при экспоненциальном распределении среднее число отказов в процессе функционирования равно произведению

 

Пример 4.2. λ = 10 ^{– 3} 1/ч; t = 5·10³ч. Найти  для n = 5, т.е. того, что за время t = 10⁴ч произойдет 5 и более отказов.

Среднее число отказов (4.15)

 

Определим из (4.14) вероятность, что за время t = 5·10³ч. произойдет не менее четырех отказов.

Вероятность нуля отказов: ;

Вероятность одного отказа: ;

Вероятность двух отказов:

Вероятность трех отказов: ;

Вероятность четырех отказов: .

 

Вероятность того, что за это время произойдет от 0 до 4-х отказов p(t) = =0, 444. Тогда вероятность того, что за это время произойдет пять и более отказов равна 0, 556. Полученный результат близок к среднему значению

 

 

В случае нормального закона распределения математическое ожидание и дисперсия суммы пнезависимых случайных величин (рис. 4.3) определяются в соответствии с теоремой сложения математических ожиданий и дисперсий независимых случайных величин:

 

Здесь T₀ - среднее время безотказной работы изделия. Среднее квадратическое отклонение величины T_n: .

Вероятность появления не менее n отказов за наработку t(при условии σ < < T₀) определяется зависимостью

 

где  – распределение плотности вероятности появления не менее n отказов к моменту t;

Ф(и)–нормированная функция Лапласа.

Из (4.13) и (4.14):

 

    Пример 4. 3. Время безотказной работы изделия распределено по нормальному закону с Т₀ = 100 ч, σ = 10 ч. После отказа оно заменяется новым. Требуется определить среднее число отказов за время процесса функционирования t= 500 ч.

        

    Решение. В соответствии с (4.17) и табл. приложения 1:

 

Среднее число отказов равно пяти.

 

Оценка среднего числа отказов. В ряде случаев оказывается достаточным найти не точное значение, а оценку, т. е. приблизительное значение среднего числа отказов n_c(f).Обосновать эту оценку можно следующим образом.

Пусть длительности наработки изделий до их отказов τ ₁, , τ ₂…, τ _n (рис. 4.3) представляют собой одинаково распределенные взаимонезависимые случайные величины с математическим ожиданием среднего времени безотказной работы

М(τ ) = T ₀. Рассматриваемый момент времени tнаходится в интервале между случайными моментами отказов Т _n< t< Т _{n + 1} (рис. 4.5).

0

0

0

f(t)

2T0

3T0

4T0

5T0

t

0

f(t)

T0

2T0

3T0

4T0

t

Рис. 4.5. Плотность вероятности отказов для примера4.2

 

Как видно из рисунка, при σ ₀≪ T₀ и   4T₀< t< 5T₀ среднее число отказов не превышает пяти (  Значение , а

Если обозначить: вероятность того, что число отказов

y_i = 1 приn ≥ i,

y_i = 0 приn< i,

то вероятность и случайное время Т _nпоявления потказов можно записать в виде

 

Здесь все слагаемые, для которых i> n, равны нулю.

Математическое ожидание времени Т _n

В этом результате

 

 

Данная сумма есть математическое ожидание М(n) числа nсобытий отказов:

Поэтому

 

Поскольку М(n) представляет собой среднее число отказов (восстановлений) к моменту t ≥ M(t_n), то из (4.18)

9)

 

К моменту число отказов (восстановлений) увеличивается на единицу: Поэтому в соответствии с (4.18)

 

(4.20)

 

Из (4.19) и (4.20) следует:

Следовательно, если в качестве оценки среднего числа отказов в одном процессе функционирования использовать соотношение

то ошибка в определении этой величины положительна и ее оценкаотличается от действительного значения не более, чем на единицу. Так, для рассмотренного примера 4.2

При бо́ льших значениях времени t, когда

из (4.21) следует (рис. 4.5):

Отметим, что данное условие справедливо при σ ₀≪ T₀.

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться: