Глава III . КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава III . КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Основные понятия

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ (или L) длины I . Рассмотрим непрерывную функцию f(x ;у), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками Мо = А, М₁ ,М₂,…, М_п = В на п произвольных дуг М _i _-1 М _i с длинами Δ l_i (i = 1, 2, ... , n) (см. рис. 1). Выберем на каждой дуге М _i _-1 М _i произвольную точку и составим сумму

(9.1)

Рис. 1.

Ее называют интегральной суммой для функции f ( x ;у) по кривой АВ.

Пусть λ = Δ l_i — наибольшая из длин дуг деления. Если при λ→0 (тогда n →∞) существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции f (х; у) по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают (или ).

Таким образом, по определению,

(9.2)

Условие существования Криволинейного интеграла I рода (существования интегральной суммы (9.1)) при n →∞ (λ→0)) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 9.1. Если функция f(x ; y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (x ; y) Є L существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводиться понятие криволинейного интеграла от функции f(x ; y ; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления интегрирования.

2. , с= const.

3. .

4. , если путь интегрирования L разбит на части L₁ и L₂ такие, что L = L₁ L₂ и L₁ и L₂ имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство f₁(x ; y) ≤ f₂(x ; y), то .

6. , где l – длина кривой AB.

7. Если функция f(x ; y) непрерывна на кривой AB, то на этой кривой найдется точка (x_c ; y_c) такая, что (теорема о среднем).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I первого рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина l кривой AB плоской или пространственной линии вычисляется по формуле .

Масса кривой

Рис. 3.

Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос, …) определяется формулой , плоскость кривой в точке M.

Разобьем кривую AB на n элементарных дуг M_i _-1 M_i ( i = ). Пусть – произвольная точка дуги M_i _-1 M_i. Считая приближенно участок дуги однородным, т.е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы m_i дуги M_i _-1 M_i:

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

, (9.7)

За массу кривой AB примем предел суммы (9.7) при условии, что , т.е.

или, согласно формуле (9.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая AB гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке AB функцией).

Основные понятия

Решение задач о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Криволинейный интеграл II рода определяется почти также как и интеграл I рода.

Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L) и функция P(x ; y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую AB точками M ₀ = A , M ₁ , … M_n = B в направлении от точки A к точке B на n дуг M_i _-1 M_i с длинами Δ l_i (i = 1, 2, …, n).

На каждой «элементарной дуге» M_i _-1 M_i возьмем точку и составим сумму вида

, (10.1)

где Δ x_i = x_i – x_i _-1 – проекция дуги M_i _-1 M_i на ось Ox. (см. рис. 5).

Сумму (9.1) называют интегральной суммой для функции P ( x ; y ) по переменной x .Таких сумм можно составить бесконечное множество. (Отличие сумм (9.1) и (10.1) очевидно).

Если при интегральная сумма (10.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой AB, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P ( x ; y ) по кривой AB и обозначают или . Рис. 5.

Итак, .

Аналогично вводиться криволинейный интеграл от функции Q ( x ; y ) по координате y:

где Δ y_i – проекция дуги M_i _-1 M_i на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством .

Криволинейный интеграл по пространственной кривой L определяется аналогично.

Терема 10.1. Если кривая AB гладкая, а функции P(x ; y) и Q(x ; y) непрерывные на кривой AB , то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования интеграл II Рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

(проекция дуги M_i _-1 M_i на оси Ox и Oy меняют знак с изменением направления).

2. Если кривая АВ с точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по все кривой равен сумме интегралов по частям, т.е.

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

(все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

(все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно, (см. рис. 6).

С другой стороны, . Таким образом,

10.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода Рис. 6.

Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I первого рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

(10.17)

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (10.8) P(x ; y) = 0, Q(x ; y) = x, получим:

или

(10.18)

Аналогично, полагая P = - y, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади с помощью криволинейного интеграла:

(10.19)

Сложив почленно равенства (10.18) и (10.19) и разделив на два, получим:

Формула (10.17) используется чаще, чем формулы (10.18) и (10.19).

Работа переменной силы

Переменная сила на криволинейном участке AB находится по формуле

(10.20)

Действительно, пусть материальная точка (х;у) под действием переменной силы перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой АВ (от точки А до точки В).

Разобьем кривую АВ точками на n «элементарных» дуг M_i _-1 M_i длины и в каждой из них возьмем произвольную точку (см. рис. 12). Заменим каждую дугу M_i _-1 M_i вектором , а силу будем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке C_i дуги M_i _-1 M_i:

Тогда скалярное произведение можно рассматри-

Рис.12. вать как приближенное значение работы вдоль дуги M_i _-1 M_i:

Приближенное значение работы A силы на всей кривой составит величину

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при (тогда, очевидно, и ):

Замечание. В случае пространственной кривой AB имеем:

Пример 10.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до (см. рис. 13).

Применяя формулы (10.17) и (10.1), получим:

Пример 10.7. Найти работу силы вдоль кривой y = x ³ от точки O(0;0) до точки B(1;1).

Решение: По формуле (10.20) находим:

Рис. 13.

Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x ; y ; z). Разобьем поверхность S на n частей S_i, площади которых обозначим через (см. рис. 14), а диаметры – через d_i, В каждой части S_i возьмем произвольную точку M_i(x_i ; y_i ; z_i) и составим сумму

(11.1)

Она называется интегральной для функции f(x ; y ; z) по поверхности S .

Если при интегральная сумма (11.1) имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x ; y ; z) по поверхности S и обозначается

Рис. 14. Таким образом, по определению,

(11.2)

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x ; y ; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. где с – число.

3. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂ такие, что , а пересечение S₁ и S₂ состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4. Если на поверхности S выполнено неравенство то

5. , где S площадь поверхности S.

7. Если f(x ; y ; z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка (x_c ; y_c ; z_c) такая, что

(теорема о среднем значении).

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z(x;y), а ее проекция на плоскость Oxy есть область D, в которой z(x;y), и - непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

или

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления массы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы . Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления, упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть . Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на n частей S_i, i = 1, 2, …, n, площадь которой обозначим

2. Берем произвольную точку M_i(x_i ; y_i ; z_i) в каждой области S_i. Предполагаем, что в пределах области S_i плотность постоянна и равна значению ее в точке M_i.

3. Масса m_i области D_i мало отличается от массы фиктивной однородной области с постоянной плотностью .

4. Суммируя m_i по всей область, получаем:

5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей S_i, т.е.

т.е.

(11.7)

Основные понятия

Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плоскость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z = f(х;у), где f(х;у), и - функции, непрерывные в некоторой области D плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторонней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся при склеивании сторон АВ и С D прямоугольника АВС D так, что точка А совмещается с точкой С, а В — с D (см. рис. 19).

Рис. 19.

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности S в пространстве Оху определена непрерывная функция f(x ; y ; z). Выбранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части S_i, где i = 1, 2, …, n, и проектируем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то же самое, если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 20, а), т. е. ; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или ) (см. рис. 41, б). В этом случае интегральная сумма имеет вид

(12.1)

где - площадь проекции S_i на плоскость Oxy. Её отличие от интегральной суммы (11.1) очевидно.

Предел интегральной суммы (12.1), при , если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части S_i и выбора точек называется поверхностным интегралом II рода (по координатам) от функции f(x ; y ; z) по переменным x и y по выбранной стороне поверхности и обозначается

Итак,

Рис. 20.

Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по переменным y и z и z и x:

Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл

где P, Q, R – непрерывные функции, определенные в точках двусторонней поверхности S.

Отметим, что если S – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней ее стороне обозначается , по внутренней .

Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности S = S₁ + S₂ равен сумме интегралов по ее частям S₁ и S₂ (аддитивное свойство), если S₁ и S₂ пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если S₁, S₂, S₃ – цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ox, Oy, то

Формула Стокса

Связь между поверхностным и криволинейным интегралами II рода устанавливает следующая теорема.

Теорема 12.2. Если функции P(x ; y ; z), Q(x ; y ; z) и R(x ; y ; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

(12.13)

где L – граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (12.13) называется формулой Стокса (Д.Г. Стокс – английский математик, физик).

Пусть - уравнение поверхности S, функции , , непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на плоскость Oxy), L₁ – граница области D (см. рис. 24). Будем считать, что поверхность S пересекается с любой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S. Рассмотрим сначала интеграл вида

Значения функции на L равны значениям функции на L₁. Интегральные суммы для криволинейных интегралов II рода по контурам L и L₁ совпадают. Поэтому

Применим к этому интегралу формулу Остроградского – Грина. Тогда получим:

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверхнос-

Рис. 24. тный интеграл II рода. Для этого последнее равенство перепишем в виде

(см. 12.7) и используя уравнение нормали к поверхности S. Так как выбранная верхняя сторона поверхности S, т.е. ( - острый угол между нормалью к поверхности S и осью Oz), то нормаль имеет проекции , , 1. Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим проекциям: