Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

 

Пусть A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) – две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (плоскость D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 10 это L₁, L₂ и L₃). По каждой из этих кривых интеграл имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.

           Рис. 10.                    В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A(x ₁ ; y ₁) и его конечную точку B ( x ₂ ; y ₂ ) пути. Записывают:

                                          (10.11)

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 10.3. Для того, что бы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции P(x ; y), Q(x ; y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, что бы в каждой точке этой области выполнялось условие  =                                          (10.12)

 

Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный замкнутый круг AmBnA (или L) в области D (см. рис. 11). Для него имеет место формула Остроградского – Грина (10.8) В силу условия (10.12) имеем: , или . Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

, т.е.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.

         Рис.11.                  В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие  = , то интеграл по замкнутому кругу равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u = u(x ; y), т.е.

                                       (10.13)

Тогда (см. (10.11))

, т.е.

                                                     (10.14)

 

Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то .

Замечания:

1. Что бы не спутать переменную интегрирования x с верхним пределом x, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например, t, и др.).

2. 2. Функцию U = U(x ; y), удовлетворяющую условию (10.12), можно найти, используя формулу: .                                                  (10.15)

В качестве начальной точки (x₀; y₀) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).

3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла  по пространственной кривой. Условие (10.12), равенство (10.13), формулы (10.14) и (10.15) имеют соответственно вид:

 = ,  = ,  = ;

,

.

Пример 10.4. Найти

Решение: Здесь P = y , Q = x ,  =  = 1. Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x, дугу параболы y = x² и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функции U (x ; y) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):

- условия выполнены, следовательно,  А так как полный дифференциал имеет вид

,

то верны соотношения

                              (10.16)

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянно интегрирования следует поставить - неизвестную функцию зависящую только от у:

Подставляя полученное выражение во второе уравнение (10.16), найдем :

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15):

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: