Вычисление поверхностного интеграла I рода

 

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области D – проекции поверхности S на плоскость Oxy.

Разобьем поверхность S на части S_i,  Обозначим через  проекцию S на поверхность Oxy. При этом область D окажется разбитой на n частей  Возьмем в  произвольную точку P_i(x_i ; y_i) и восстановим перпендикуляр к плоскости Oxy до пресечения с поверхностью S. Получим точку M_i(x_i ; y_i ; z_i) на поверхности S_i. Проведем в точке M_i касательную плоскость и рассмотри ту ее часть T_i, которая на плоскость Oxy проектируется в область  (см. рис. 15). Площади элементарных частей S_i, T_i и  обозначим как , и  соответственно. Будем приближенно считать, что

                                                             (11.3)

Обозначив через  острый угол между осью Oz и нормалью к поверхности в точке M_i получаем:

                                                        (11.4)

(область  есть проекция T_i на плоскость Oxy).

 Рис. 15.             Если поверхность S задана уравнением z = z(x ; y), то, как известно, уравнение касательной плоскости в точке M_i есть, где  и , -1 – координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол  есть угол между векторами  и  Следовательно,

Равенство (11.4) принимает вид

В правой части формулы (11.2) заменим  (учитывая (11.3)) на полученное выражение для , а z_i заменим на z(x_i ; y_i). Поэтому переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра S_i (а следовательно, и ), получаем формулу

                      (11.15)

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции S на плоскость Oxy.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида y = y(x ; z) или x = x(y; z), то аналогично получим:

и

      (11.6)

где D₁ и D₂ – проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz и Oyz соответственно.

Пример 11.1. Вычислить  где S часть плоскости , расположенной в I октане (см. рис. 16).

Решение: Запишем уравнение плоскости в виде  Находим  По формуле (11.5) имеем:

Рис.16.                         

Пример 11.2. Вычислить

где S – часть цилиндрической поверхности  отсеченной плоскостями z = 0, z = 2 (см. рис. 17).

Решение: Воспользуемся формулой (11.6). Поскольку ,  то

      Рис. 17.          где D₁ – прямоугольник AA₁B₁B.

 

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла I рода.

Площадь поверхности

 

Если поверхность S задана уравнением z = z(x;y), а ее проекция на плоскость Oxy есть область D, в которой z(x;y),  и  - непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

или

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления мас­сы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения массы . Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой обла­сти деления, упрощающие задачу предположения; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на примере определения массы материальной поверхности.

 

Масса поверхности

 

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть . Для нахождения массы поверхности:

1. Разбиваем поверхность S на n частей S_i, i = 1, 2, …, n, площадь которой обозначим

2. Берем произвольную точку M_i(x_i ; y_i ; z_i) в каждой области S_i. Предполагаем, что в пределах области S_i плотность постоянна и равна значению ее в точке M_i.

3. Масса m_i области D_i мало отличается от массы  фиктивной однородной области с постоянной плотностью .

4. Суммируя m_i по всей область, получаем:

5. За точное значение массы материальной поверхности S принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю диаметров областей S_i, т.е.

т.е.

                                                   (11.7)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: