Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры

 

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

                                                   (10.17)

 

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (10.8) P(x ; y) = 0, Q(x ; y) = x, получим:

или

                                                            (10.18)

Аналогично, полагая P = - y, Q = 0, найдем еще одну формулу для вычисления площади с помощью криволинейного интеграла:

                                                           (10.19)

Сложив почленно равенства (10.18) и (10.19) и разделив на два, получим:

Формула (10.17) используется чаще, чем формулы (10.18) и (10.19).

 

Работа переменной силы

 

Переменная сила  на криволинейном участке AB находится по формуле

                                                      (10.20)

Действительно, пусть материальная точка (х;у) под действием переменной силы  перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой АВ (от точки А до точки В).

Разобьем кривую АВ точками на n «элементарных» дуг M_{i -1} M_i длины  и в каждой из них возьмем произвольную точку  (см. рис. 12). Заменим каждую дугу M_{i -1} M_i вектором , а силу  будем считать постоянной на векторе перемещения и равной заданной силе в точке C_i дуги M_{i -1} M_i:

Тогда скалярное произведение можно рассматри-

 Рис.12.                       вать как приближенное значение работы вдоль дуги M_{i -1} M_i:

Приближенное значение работы A силы  на всей кривой составит величину

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при (тогда, очевидно, и ):

Замечание. В случае пространственной кривой AB имеем:

Пример 10.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении параметр t изменяется от 0 до  (см. рис. 13).

Применяя формулы (10.17) и (10.1), получим:

Пример 10.7. Найти работу силы  вдоль кривой y = x ³ от точки O(0;0) до точки B(1;1).

Решение: По формуле (10.20) находим:

      Рис. 13.             

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

 

Основные понятия

 

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверхностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, пространства Oxyz определена непрерывная функция f(x ; y ; z). Разобьем поверхность S на n частей S_i, площади которых обозначим через  (см. рис. 14), а диаметры – через d_i,  В каждой части S_i возьмем произвольную точку M_i(x_i ; y_i ; z_i) и составим сумму

                                (11.1)

Она называется интегральной для функции f(x ; y ; z) по поверхности S .

Если при интегральная сумма (11.1) имеет предел, то он называется поверхностным интегралом I рода от функции f(x ; y ; z) по поверхности S и обозначается

             Рис. 14.                            Таким образом, по определению,

 

                                (11.2)

 

Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x ; y ; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1.  где с – число.

2.

3. Если поверхность S разбита на части S₁ и S₂ такие, что , а пересечение S₁ и S₂ состоит лишь из границы, их разделяющей, то

4. Если на поверхности S выполнено неравенство  то

5. , где S площадь поверхности S.

6.

7. Если f(x ; y ; z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности существует точка (x_c ; y_c ; z_c) такая, что

(теорема о среднем значении).

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: