КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Основные понятия

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ (или L) дли­ны I . Рассмотрим непрерывную функцию f(x ;у), определенную в точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками Мо = А, М₁ ,М₂,…, М_п = В на п произвольных дуг М _{i -1} М _i с длинами Δ l_i (i = 1, 2, ... , n) (см. рис. 1). Выберем на каждой дуге М _{i -1} М _i произвольную точку  и составим сумму

                                                                    (9.1)

Рис. 1.

Ее называют интегральной суммой для функции f ( x ;у) по кривой АВ.

Пусть λ =  Δ l_i — наибольшая из длин дуг деления. Если при λ→0 (тогда n →∞) существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции f (х; у) по длине кривой АВ (или I рода) и обозначают  (или ).

Таким образом, по определению,

                                               (9.2)

 

Условие существования Криволинейного интеграла I рода (существования интегральной суммы (9.1)) при n →∞ (λ→0)) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 9.1. Если функция f(x ; y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (x ; y) Є L существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

 

Аналогичным образом вводиться понятие криволинейного интеграла от функции f(x ; y ; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (I рода).

 

1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления интегрирования.

2. , с= const.

3. .

4. , если путь интегрирования L разбит на части L₁ и L₂ такие, что L = L₁ L₂ и L₁ и L₂ имеют единственную общую точку.

5. Если для точек кривой L выполнено неравенство f₁(x ; y) ≤ f₂(x ; y), то .

6. , где l – длина кривой AB.

7. Если функция f(x ; y) непрерывна на кривой AB, то на этой кривой найдется точка (x_c ; y_c) такая, что  (теорема о среднем).

 

Вычисление криволинейного интеграла I рода

 

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I первого рода в случаях, если кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

 

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t Є [α;β], где x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке A, соответствует t = α, а точке B – значение t = β, то

                                          (9.3)

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции f(x ; y ; z) по пространственной кривой AB, задаваемой уравнениями x = x(t), y = y(t), z = (t), :

                              (9.4)

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: