Теоретические особенности алгебраических уравнений.

Введение

Современное общество предъявляет ко всем типам образовательных учреждений новые требования к подготовке выпускников. Учащиеся должны иметь необходимые знания, умения и навыки, адаптационные, мыслительные и коммуникативные способности, собирать необходимые для решения имеющихся проблем факты; анализировать их, предлагать гипотезы решения проблем; обобщать факты, сопоставлять решения, устанавливать статистические закономерности, аргументировать свои выводы и применять их для решения новых проблем.

ЕГЭ и ГИА по математике подразумевает решение двух задач. С одной стороны, проверку обязательного уровня усвоения выпускниками школы курса математики и, с другой стороны – отбор учащихся для последующего обучения в высших учебных заведениях. Успешность выполнения заданий работы на экзамене обусловлена не только хорошими знаниями по предмету, но и правильной подготовкой к этому испытанию.
В настоящее время в педагогической практике большое внимание уделяется вопросам подготовки учащихся к выпускным испытаниям в форме ГИА и ЕГЭ. Однако в 2012 году средний балл ЕГЕ по области по математике – 42,3, что на 2,3 балла ниже, чем по России (44,6) и на 3 балла ниже чем в 2011 году (45,3). Установленный рубеж в 2012 году 24 балла не преодолели 3,2% от общего числа сдававших выпускников, что ниже показателя 2011 года (4,5%). Средний балл по ГИА в Саратовская области в 2012г.-16,4 балла. Качество знаний -49,58%, по России - 47,02% Не справились с работой 5,84% участников ГИА в Саратовская области и по России- 9,33%

Но как видно из результатов ГИА и ЕГЭ не всё так хорошо как бы хотелось. Как сделать обучение максимально развивающим мышление, как использовать все познавательные способности учащихся, как научить их быстро ориентироваться при решении задач – это те вопросы, которые находятся в центре внимания учителей математики выпускных классов. Тем более, в свете модернизации школьного образования результатами образования являются не только знания, умения и навыки, но и сформированность различных компетенций, т. е. умение делать перенос полученных знаний в жизненные ситуации, решать эти проблемные ситуации. При решении тестовых заданий от учащихся также требуется умение анализировать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии.
Определяющим фактором успешной сдачи ГИА и ЕГЭ, как и любого серьезного экзамена по математике, по-прежнему является целостное и качественное прохождение курса математики. Итоговое повторение и завершающий этап подготовки к экзамену способствуют выявлению и ликвидации проблемных зон в знаниях учащихся, закреплению имеющихся умений и навыков в решении задач, снижению вероятности ошибок. Для успешной сдачи ЕГЭ необходимо систематически изучать математику, развивать мышление, отрабатывать навыки решения задач различного уровня.

Особое внимание в преподавании математики следует уделить регулярному выполнению упражнений, развивающих базовые математические компетенции школьников (умение читать и верно понимать условие задачи, решать практические задачи, выполнять арифметические действия, простейшие алгебраические преобразования, действия с основными функциями и т.д.). Большинство ошибок в решении задач на экзамене связаны с недостаточным освоением курса алгебры основной школы и даже арифметики начальной школы. Важно найти правильный ответ на вопросы «Что мешает?» и «Что помогает подготовке к ЕГЭ?».

В основном затруднения при подготовке испытывают учащиеся с низким уровнем вычислительных навыков; учащиеся с завышенным самомнением или, наоборот, имеющие заниженную самооценку.

Подготовка к тестам не заменяет регулярное и последовательное изучение курса математики. Подготовка к ГИА и ЕГЭ в течение учебного года уместна в качестве закрепления пройденного материала, педагогической диагностики и контроля и должна сопровождать, а не подменять полноценное преподавание курса средней школы.

Для организации непосредственной подготовки к ГИА и ЕГЭ учителю и ученику необходимо определить целевые установки, уровень знаний и проблемные зоны, в соответствии с этим выработать стратегию подготовки. Можно условно выделить следующие целевые группы школьников.

Первая целевая группа – учащиеся с низким уровнем подготовки, фактически не освоившие материал основной школы. Наиболее важной проблемой, с которой может столкнуться учитель, будет отсутствие мотивации и базовых математических навыков. Следует начинать повторение с арифметического и алгебраического материала 5–6 классов, регулярно отрабатывать технику вычислений. Следует обратить особое внимание на решение практико-ориентированных задач, обучение внимательному чтению условий задач. Также целесообразно выявить имеющиеся твердые знания и навыки учащегося, и стараться повысить успешность выполнения заданий, опираясь на них.

Вторая целевая группа – учащиеся, имеющие неплохой уровень базовой математической подготовки, но не намеренные поступать в ссузы и вузы на математические специальности. Такие участники экзамена чаще всего используют свой результат ЕГЭ по математике «в сумме с другими баллами». Им следует отвести определенное время для закрепления успешности выполнения заданий части 1 и, возможно, для отработки решения заданий С1 или С2.

Третья целевая группа – учащиеся, имеющие достаточный уровень базовой математической подготовки, планирующие использовать результаты ЕГЭ по математике для поступления в вуз. Им следует, оценив текущий уровень знаний и собственные трудности в освоении курса, добиться надежного выполнения заданий части 1, а также определить круг заданий части 2 КИМ, которые они могут выполнить во время экзамена (ориентиром могут служить хорошо освоенные темы).

Четвертая целевая группа – учащиеся с высоким уровнем математической подготовки, намеренные использовать ЕГЭ по математике для поступления в вузы с высоким конкурсом на математические специальности. Им следует определить задания части 2, вызывающие наибольшие затруднения, и работать над соответствующими темами. При этом целесообразно регулярно проводить тренинг по заданиям части 1, что будет способствовать не только снижению вероятности случайной потери балла на экзамене, но и повышению общей культуры вычислений, которая особенно важна при выполнении заданий с развернутым ответом.

Наличие в Интернете открытого банка заданий части 1 по математике позволяет учителям включать задания из открытого банка в текущий учебный процесс, а на завершающем этапе подготовки к экзамену эффективно проводить диагностику недостатков и устранять их в усвоении отдельных тем путем решения серий конкретных задач. Следует отметить, что открытый банк заданий является вспомогательным методическим материалом для учителя. Замена преподавания математики решением задач из открытого банка, «натаскивание» на запоминание текстов решений (или даже ответов) задач из банка вредно с точки зрения образования и малоэффективно в смысле подготовки к самому экзамену.

Так что же необходимо делать учителям и ученикам для успешной сдачи экзамена?

Планирование работы учителя по подготовке к ГИА и ЕГЭ

Подготовительный этап включает в себя:

тщательное изучение демоверсии ГИА и ЕГЭ (изучение спецификации

контрольных измерительных материалов; изучение кодификатора

требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения единого государственного экзамена. Цель – понять особенности заданий, которые будут предложены учащимся в этом году);

· оценку готовности учащихся к ЕГЭ, выявление проблем, типичных как для данного класса, так и индивидуально для каждого ученика;

· Определение группы, в которой занимается ученик с его согласия(в течение обучения группа может и поменяться)

· формирование на основе подготовленного аналитического материала понимания у обучающихся специфики ЕГЭ;

· планирование работы по развитию навыков выполнения обязательной части экзаменационного задания;

· психологическая подготовка обучающихся к экзаменам, помощь в выработке индивидуального способа деятельности в процессе выполнения экзаменационных заданий.

Второй этап – организация повторения. На этом этапе необходимо разработать план подготовки к ГИА и ЕГЭ, который должен включать в себя список ключевых тем для повторения. Это позволит параллельно с изучением нового материала системно повторить пройденное ранее.

Основная часть.

Анализ работ 11 класса по решению уравнений не в пользу 2012 года.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции. Решение уравнений и неравенств с логарифмами верно выполнили 86,25 % в 2011г, и 77,95%-в 2012г.

Построение и исследование простейших математических моделей с использованием уравнений и неравенств верно выполнили 62,01% в 2011г, и 47,16% в 2012г.

Решение уравнений и неравенств С1 В полном объёме (2 балла) задание С1 выполнили 12,3% выпускников. По 1 баллу получили 9,6% выпускников.

Распределение доли обучающихся, имеющих ненулевую отметку при выполнении части «С» ЕГЭ по математике выглядит следующим образом: в 2011 г.с заданием С1 справились33,64%, а в 2012 г. 21,94%. С3 - решение уравнений и неравенств Сответственно 12,76% и 5,30%. С5 - решение уравнений и неравенств 2,76% и 1,61%.

Выполнение заданий С1 не требовало многошаговых преобразований и вычислений, применения каких-либо особых, необычных приёмов, но позволяло проверить владение известными алгоритмами действий и методами решения уравнений и неравенств.

Фактически баллы за выполнение этих задач выставлялись в том случае, когда участник ЕГЭ явно демонстрировал владение выбранным им методом решения: правильно проводил требуемые операции, исследовал все возможные случаи, выполнял отбор соответствующих решений согласно условию задания. При этом ему давалось право только на описку и/или несущественную вычислительную ошибку. Чаще всего выпускники не могли правильно обосновать и сформулировать ответ, учесть множество, на котором задача имеет смысл; имело место много вычислительных ошибок. Типичными ошибками были:

- неумение решать квадратные уравнения;

- незнание свойств тригонометрических функций;

- неумение решать простейшие тригонометрические уравнения.

При подготовке к экзамену по математике, который является обязательным для всех выпускников, необходимо обратить особое внимание на аккуратность вычислений, умение решать простейшие уравнения и неравенства, извлекать квадратные корни.

Вызывают трудности текстовые задачи, в которых необходимо составлять уравнения или системы уравнений, такие задачи решаются в 5-6 классе. Решение квадратного уравнения верно выполнили (Саратовская область ГИА) 82,61%.

Представленные выше данные лишний раз указывают на необходимость дифференцированного подхода к обучению и, в частности, при организации итогового (перед экзаменом) повторения учителю необходимо иметь реальные представления об уровне подготовки каждого учащегося и ставить перед ним достижимую цель.

При подготовке к экзамену следует нацеливать определенную часть учащихся на безошибочное выполнение первой части, правильно расставляя акценты и учитывая их реальные возможности. При повторении материала за курс основной школы надо уделять особое внимание отработке решения обязательных, стандартных заданий до приобретения устойчивого навыка их решения, а это значит систематически обращаться к таким темам школьного курса математики как решение уравнений. Уравнения являются неотъемлемой частью задания на экзаменах по математике. Поэтому уравнениям необходимо уделять особое внимание при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по указанной теме решение уравнений для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Материал расположен по степени его сложности, начиная с самого простого. В работе представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные.

В основной школе рассматриваются линейные, квадратные, дробно-рациональные, простейшие уравнения высших степеней, а также задания с параметрами и модулем .

Линейные уравнения.

Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида , где - заданные числа, причем , а - неизвестное.

При этом число называется коэффициентом при неизвестном ,

число - свободным членом уравнения.

Это уравнение равносильно уравнению , из которого получаем, что . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень .

Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения , где - заданные числа, а - неизвестное.

Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида , где и - известные числа. При этом число - коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффициента при неизвестном в уравнении первой степени.

Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней.

Пример 1. Решите уравнение 7х – 2(х+3) = 5х – 6.

Решение: 7х – 2х – 6 = 5х – 6, 5х – 6 = 5х – 6, 0 = 0 – истинное равенство вне зависимости от значений переменной х. следовательно, уравнение представляет собой верное равенство при всех значениях х.

Ответ: R.

Пример 2. Решите уравнение 11х – 4 = 2х + 3(3х +1).

Решение: 11х – 4 = 2х + 9х +3, 11х – 4 = 11х +3, -4 = 3 – ложное равенство вне зависимости от значений переменной х, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите уравнение: [2, с.48 ]

Решение: приведем дроби к общему знаменателю и умножим обе части уравнения на общий знаменатель 15, получим уравнение равносильное данному: 5(х + 9) – 3(х – 1 ) = 30, 5х + 45 – 3х + 3 = 30, 2х = -18, х = -9.

Ответ: -9.

Уравнения с параметрами.

Задачи с параметрами являются одним из самых трудных разделов школьного курса математики, т.к. их решение связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Уравнение с параметром ч встречается в ЕГЭ и ГИА. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В наших учебниках по математике таких задач недостаточно.

Рассмотрим виды уравнений с параметрами , которые встречаются при сдаче ГИА.

Пример 12. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда . Итак, если , то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же , то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант принимает значение, равное нулю, при Ответ: или

Пример 13. Решить уравнение .

Решение: Если , то

Если , то уравнение квадратное, найдем дискриминант.

то уравнение имеет корни.

При

а) , если ,

б) если .

Ответ: при

при .

Пример 14. При каких значениях параметра а уравнение имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

Решение: ;

если , то

а) Согласно теореме Виета

б) решений нет;

в) если , то

;

Ответ: а) б) таких b не существует ; в) .

Пример 15 .Найти все значения а, при которых уравнение имеет только целые корни.

Решение. Пусть , тогда из уравнения следует, что Поэтому удовлетворяет условию задачи. Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению . Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то и – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть , где тогда , , причем – целое число, то есть n может принимать значения из чисел Проверка показывает, что только при и все корни исходного уравнения являются целыми числами.

Ответ:

2.В процессе обучения в старшей школе учащиеся при подготовке к ЕГЭ

решают иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, уравнения.

Иррациональные уравнения

1)Определение: уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными.

2. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым равносильным ему уравнением с помощью преобразований

3. Если каждый корень данного уравнения является корнем другого уравнения, то второе уравнение является следствием первого.

Корни второго уравнения, не удовлетворяющие первому уравнению, называются посторонними корнями первого уравнения и не считаются решением этого уравнения.

К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.

4. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение.

Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

5. Если уравнение имеет вид f(х)h(х) = g(х)h(х), то деление обеих его частей на h(х),как правило, не допустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h(х) = 0, если они существуют.

Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

6. Решение иррационального уравнения следует искать в ОДЗ неизвестного. Для этого следует напомнить, что корень четной степени из числа в той же степени равен модулю этого числа. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, причем этот корень равен неотрицательному числу, а из равенства следует х = а²ⁿ.

7. Основные методы решения иррациональных уравнений:

1). Уединение радикала и возведение в степень. Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению («рационализация уравнений»). Этому методу много внимания уделяется в любом школьном курсе, поэтому останавливаться на нем не следует.

2). Введение новой переменной (подстановка). Сущность метода описана ранее. Подробнее поясним на примерах.

3). Уравнения, содержащие кубические радикалы. Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы (а + b)³ = а³ + b³ + 3а b(а + b)

(а - b)³ = а³ - b³ - 3а b(а - b).

Логарифмические уравнения

3) Определение: уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

Логарифмом числа b (b>0) по основанию а (а>0, a≠1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получилось число b, т. е. из следует и наоборот.

Основные формулы: а , а ,b ,c

Основные методы решения логарифмических уравнений

1.По определению логарифма. Так решаются простейшие уравнения вида

2.Метод потенцирования. Суть метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду Это уравнение (при а>0, а≠1) равносильно системе

3. Метод подстановки. Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

4. Метод приведения к одному основанию. Обычно условие подсказывает, к какому основанию следует привести. Используются формулы 7-9. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

5.Метод логарифмирования. Обычно логарифмируются уравнения вида , т. е. показательно-степенное уравнение.

6. Функционально-графический способ.

Пример 19. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −42.

Пример 20.Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: 2.

Пример 21.Найдите корень уравнения .

Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:

Ответ: 6.

Пример 22. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −4.

Пример 23. Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 5.

Пример 24. Решите уравнение .

Решение.
Заметим, что и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

Пример 25. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

I .Приведение к виду:

log = log

и потенцирование (освобождение от логарифмов): = .

Пример 26. lgx – lg(2х – 5) = lg2 – lg(х – 3)

1. О.Д.З.

2. Перепишем уравнение в следующем виде (по свойствам логарифмов):

х²-3х = 4х - 10 х² - 7х + 10 = 0 х =2, х = 5.

Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З., следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 5.

II .Приведение к алгебраическому уравнению относительно некоторой логарифмической функции и введение новой неизвестной.

Пример 27.

log

1.О.Д.З.

2. Выполним преобразования по свойствам логарифмов:

log

Пусть . Получим t² - 5t + 6 = 0

Выполним обратную подстановку:

Значение х = не удовлетворяет О.Д.З., следовательно, это посторонний корень.

Ответ:

Посторонние корни обнаруживаются либо по О.Д.З., либо – подстановкой найденного решения в исходное уравнение.

Показательно-логарифмические уравнения – это уравнения, в которых переменная стоит и под знаком логарифма , и в показателе степени. Решаются они, как правило, логарифмированием обеих частей уравнения.

Пример 28. .