Логарифмические уравнения

3)  Определение: уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

 Логарифмом числа b (b>0) по основанию а (а>0, a≠1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получилось число b, т. е. из   следует и наоборот.

Основные формулы: а , а ,b ,c

Основные методы решения логарифмических уравнений

1.По определению логарифма. Так решаются простейшие уравнения вида                   

 2.Метод потенцирования. Суть метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду Это уравнение (при а>0, а≠1) равносильно системе

3. Метод подстановки. Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

4. Метод приведения к одному основанию. Обычно условие подсказывает, к какому основанию следует привести. Используются формулы 7-9. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

5.Метод логарифмирования. Обычно логарифмируются уравнения вида , т. е. показательно-степенное уравнение.

6. Функционально-графический способ.

Пример 19. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −42.

Пример 20.Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

.

 

Ответ: 2.

Пример 21.Найдите корень уравнения .

Решение.
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при этом положительны:

 

Ответ: 6.

Пример 22. Найдите корень уравнения .

Решение.
Последовательно получаем:

Ответ: −4.

Пример 23. Решите уравнение .

Решение.
Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 5.

Пример 24. Решите уравнение .

Решение.
Заметим, что  и используем формулу Имеем:

Ответ: 2.

Пример 25. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение.
На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 12.

I .Приведение к виду:

log = log

 и потенцирование (освобождение от логарифмов): = .

Пример 26. lgx – lg(2х – 5) = lg2 – lg(х – 3)

1. О.Д.З.

2. Перепишем уравнение в следующем виде (по свойствам логарифмов):

lg

 х²-3х = 4х - 10 х² - 7х + 10 = 0 х =2, х = 5.

Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З., следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 5.

II .Приведение к алгебраическому уравнению относительно некоторой логарифмической функции и введение новой неизвестной.

Пример 27.

log

1.О.Д.З.

2. Выполним преобразования по свойствам логарифмов:

log

Пусть . Получим t² - 5t + 6 = 0

 Выполним обратную подстановку:

Значение х =  не удовлетворяет О.Д.З., следовательно, это посторонний корень.

Ответ:

Посторонние корни обнаруживаются либо по О.Д.З., либо – подстановкой найденного решения в исходное уравнение.

Показательно-логарифмические уравнения – это уравнения, в которых переменная стоит и под знаком логарифма , и в показателе степени. Решаются они, как правило, логарифмированием обеих частей уравнения.

Пример 28. .

1.ООУ: х>0, 2.Прологарифмируем уравнение по основанию 10:

Получаем: х=1, х=100, х=10 .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: