Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения.
Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений и : , по условию задачи могут быть неравноправными. Одни из них считаются известными, или параметрами. Они могут принимать все свои допустимые значения. Другие буквенные величины являются неизвестными. Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, называется уравнением. В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассматривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными. Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами а известные (или параметры) – буквами Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения. Каждое слагаемое части уравнения называется членом уравнения. Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения уравнения называется множество всех числовых значений неизвестного , при каждом из которых имеют смысл выражения и одновременно. Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство. Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет. Например, уравнение имеет единственный корень ; уравнение не имеет корней во множестве R: для любого действительного числа всегда . Определение. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений), то они также считаются равносильными. Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Если уравнения и равносильны, то пишут . Например, ; , так как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения и неравносильны. При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:
Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами: 1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить 2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или 3) любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Эти свойства используются и при решении уравнений.
Линейные уравнения. Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида , где - заданные числа, причем , а - неизвестное. При этом число называется коэффициентом при неизвестном , число - свободным членом уравнения. Это уравнение равносильно уравнению , из которого получаем, что . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень . Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения , где - заданные числа, а - неизвестное. Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида , где и - известные числа. При этом число - коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффициента при неизвестном в уравнении первой степени. Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней. Пример 1. Решите уравнение 7х – 2(х+3) = 5х – 6. Решение: 7х – 2х – 6 = 5х – 6, 5х – 6 = 5х – 6, 0 = 0 – истинное равенство вне зависимости от значений переменной х. следовательно, уравнение представляет собой верное равенство при всех значениях х. Ответ: R. Пример 2. Решите уравнение 11х – 4 = 2х + 3(3х +1). Решение: 11х – 4 = 2х + 9х +3, 11х – 4 = 11х +3, -4 = 3 – ложное равенство вне зависимости от значений переменной х, поэтому исходное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений. Пример 3. Решите уравнение: [2, с.48 ] Решение: приведем дроби к общему знаменателю и умножим обе части уравнения на общий знаменатель 15, получим уравнение равносильное данному: 5(х + 9) – 3(х – 1 ) = 30, 5х + 45 – 3х + 3 = 30, 2х = -18, х = -9. Ответ: -9. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 221; Нарушение авторского права страницы