Уравнения с одним неизвестным. Корень уравнения.

Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений  и : , по условию задачи могут быть неравноправными. Одни из них считаются известными, или параметрами. Они могут принимать все свои допусти­мые значения. Другие буквенные величины являются неизвестными.

Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, называется уравнением.

В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассматривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными.

Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами  а известные (или параметры) – буквами

Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным    

Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой частями уравнения. Каждое слагаемое части уравнения называется членом уравнения.

Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения уравнения  называется множество всех числовых значений неизвестного , при каждом из которых имеют смысл выражения  и  одновременно.

Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этого уравнения.

Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Например, уравнение  имеет единственный корень ; уравнение  не имеет корней во множестве R: для любого действительного числа  всегда .

Определение. Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если всякий корень одного уравнения является корнем другого, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений), то они также считаются равносильными.  

Иначе говоря, равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают.

Если уравнения  и  равносильны, то пишут .

Например, ; , так как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения  и  неравносильны.

При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако та­кая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:

1. При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней. Например, при переходе от уравнения  к уравнению  сокращением на неизвестное  происходит потеря корня . Поэтому при переходе к новому уравнению надо учитывать возможность потери корня данного уравнения.
2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями
   данного уравнения (так называемые посторонние корни). Например, при переходе от уравнения  к уравнению  возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим  - посторонний корень этого уравнения. Поэтому часто делают проверку кор­ней, подставив их в данное уравнение.

Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:

1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и то же число;

2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

3) любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Эти свойства используются и при решении уравнений.

                                  

Линейные уравнения.

Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнение вида , где  - заданные числа, причем , а  - неизвестное.

При этом число  называется коэффициентом при неизвестном ,

чис­ло  - свободным членом уравнения.

     Это уравнение равносильно уравнению , из которого получаем, что . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единственный корень .

Уравнение первой степени является частным случаем линейного уравнения , где  - заданные числа, а  - неизвестное.

Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида , где  и  - известные числа. При этом число  - коэффициент при неизвестном , может оказаться равным нулю, в отличие от коэффи­циента при неизвестном в уравнении первой степени.

Может оказаться, что линейное уравнение не имеет корней или имеет бесконечное множество корней.

Пример 1. Решите уравнение 7х – 2(х+3) = 5х – 6.

Решение: 7х – 2х – 6 = 5х – 6, 5х – 6 = 5х – 6, 0 = 0 – истинное равенство вне зависимости от значений переменной х. следовательно, уравнение представляет собой верное равенство при всех значениях х.

Ответ: R.

Пример 2. Решите уравнение 11х – 4 = 2х + 3(3х +1).

Решение: 11х – 4 = 2х + 9х +3, 11х – 4 = 11х +3, -4 = 3 – ложное равенство вне зависимости от значений переменной х, поэтому исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решите уравнение:  [2, с.48 ]

Решение: приведем дроби к общему знаменателю и умножим обе части уравнения на общий знаменатель 15, получим уравнение равносильное данному: 5(х + 9) – 3(х – 1 ) = 30, 5х + 45 – 3х + 3 = 30, 2х = -18, х = -9.

Ответ: -9.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: