Тригонометрические уравнения.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или

A sin² х + В cos х + С =0

sin² х + 5 sin х - 6 =0. замену sin х = z

При решении уравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х = 1 - cos² х,

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                          A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x ≠ 0, получим уравнение вида А tg ²x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или      (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

  A sin x+ B cos x = С

  A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

  2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) - sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). 

Тригонометрические уравнения.

основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или

A sin² х + В cos х + С =0

sin² х + 5 sin х - 6 =0. замену sin х = z

При решении уравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х = 1 - cos² х,

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                          A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x ≠ 0, получим уравнение вида А tg ²x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 

К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или           (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

  A sin x+ B cos x = С

  A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

  2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) - sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). 

Тригонометрические уравнения.

Пример 29.Решите уравнение Укажите корни, принадлежащие отрезку

Решение.
Сделаем замену и получим квадратное уравнение корнями которого являются числа и Уравнение не имеет решений, а из уравнения находим:

или .

Найдем корни, принадлежащие отрезку .

,

.

Отрезку принадлежат только корни  и .

Ответ: . Отрезку принадлежат корни:  и .

Пример 30.Дано уравнение
а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.
а) По формуле приведения и формуле косинуса двойного угла: Тогда или Откуда или
б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке Это числа и (см. рис.).

Ответ: а)   б)

Пример 31.Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Преобразуем уравнение:

.

Если , то из уравнения следует , что невозможно. Значит, на множестве корней уравнения . Разделим обе части уравнения на :

.

б) Составим двойное неравенство: , откуда . Следовательно, . Поэтому на данном отрезке получаем единственный корень .

Ответ : а) ; б) .

Пример 32. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.
а) Разложим левую часть на множители:

Уравнение , не имеет корней. Имеем

Если , то , это невозможно. Это однородное уравнение первой степени, разделим обе его части на . Получаем:

б) Отрезку принадлежат корни и (см. рис.)

Ответ: а) где , б) и

Пример 33.а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
Решим уравнение:

Отберём корни, принадлежащие отрезку . Это числа (см. рис.): .

 

Ответ: а) . б) ; ;

Пример 34. а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение.
а) Запишем уравнение в виде

Значит, или , откуда , , или , откуда , .
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку .
Получим числа: , и .

Ответ:а) б) , и .
2.5 Уравнения с параметром

Особое внимание при повторении следует обратить на задачи, содержащие модуль и параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсе алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников

Пример 35. Решите уравнение | х – а | = 3х – 1.

   Решение. Это уравнение с параметром а. По определению модуля 3х – 1 ≥ 0, т. е.

 Рассмотрим два случая:

а) Если х – а ≥ 0, то уравнение примет вид х – а = 3х – 1, 2х = 1 – а,  так как  то  поэтому

б) Если х – а < 0, то уравнение примет вид – х + а = 3х – 1, 4х = а + 1,  так как  то  поэтому  Итак:  и

При  имеем

Ответ: если  то , если  то

Пример 36. .

Решение. Считая, что знаменатель не равен нулю, выразим х через а, т. е. решим уравнение относительно х: а = 18а – 12х, 12х = 17а, .Теперь вернемся к исходному уравнению. Подстановка  в это уравнение обращает его в верное равенство, кроме случаев, когда 3а – 2х = 0, т. е. 3а – ≠ 0, , а≠ 0.Таким образом, при а = 0 уравнение не имеет корней, а при а ≠ 0 уравнение имеет корни .

Ответ: корней нет при а = 0 и  при а ≠ 0.

Пример 37. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.
Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение .
На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при .
При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня,

и .

Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при .
По теореме Виета:

, ,

поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и . Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.
Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при .

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней:

 нет корней при ; один корень при  и ; два корня при  и ; три корня при .

Ответ: .

Заключение

В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно.

При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

Сейчас выигрывает тот учитель, который может не только дать базовые знания учащимся, но и направить их действия на самостоятельное освоение знаний. Ни компьютер, ни информационные технологии сами по себе не способны сформировать интеллектуальные и этические качества выпускника школы, они являются лишь вспомогательными средствами решения мировоззренческих задач, а найти эти решения ученик может лишь с помощью грамотного, творчески работающего учителя.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: