Уравнения, приводимые к линейным и квадратным.

 

Уравнение вида

 ( ,  - натуральное)

называется алгебраическим уравнением n -й степени. Его левая часть - многочлен n -й степени относительно . Уравнение первой степени и квадратное уравнение являются его частными случаями при  и  соответственно.

Уравнение, степень которого выше второй, принято называть уравнением высшей степени. Основными методами решения уравнений высших степеней являются:

· метод замены переменной;

· метод разложения на множители;

· графический метод.

Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений степени .

Пример 9. Решить уравнения:

а) ; б)

Решение. Оба уравнения можно решить разложением левой части на множители. Проще поступить по-другому:

а) ;

б) . [5, c.131]

Пример 10. Решить уравнение х³ – 7х – 6 =0.

Решение. Используем разложение на множители: х³ –х – 6х - 6 =0,        х·(х² -1) – 6·(х+1) = 0 или х·(х -1)·(х+1) – 6·(х+1) = 0, (х +1)·(х² – х - 6) =0,

 х+1=0 и х² – х – 6=0, значит х= -1, х = -2, х = 3.

Ответ: -1,-2,3.

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. Заметим важную особенность уравнения: его левая часть содержит неизвестное  в виде выражения . Поэтому для решения этого уравнения используем метод введения нового неизвестного. Пусть , где  - новое неизвестное. Тогда данное уравнение приводится к квадратному уравнению относительно : .

Решая его, получаем , .

Теперь найдем . Решая уравнение  или ,

получаем , .

Решая уравнение  или ,

получаем , .

Итак, , , ,  - все корни данного уравнения.

Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно.

Методом введения переменной решаются также биквадратные уравнения, которые также востребованы в ГИА.

Биквадратное уравнение - важный частный случай урав­нения четвертой степени. Заменой  биквадратное уравнение приво­дится к квадратному уравнению , которое имеет действи­тельные корни только в случае, когда его дискриминант  неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи, (в зависимости от корней  вспомогательного квадратного уравнения):

1) , ; биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: , .

2) , ; биквадратное уравнение имеет два действительных
корня: .

Очевидно, аналогично и при , .

3) , ; биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Например, решим биквадратное уравнение . Полагаем . Тогда ; дискриминант ; корни , . Решая уравнение , получаем . Уравнение  действительных корней не имеет.

Уравнения с параметрами.

 Задачи с параметрами являются одним из самых трудных разделов школьного курса математики, т.к. их решение связано с умением проводить сложные, разветвленные логические построения. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Уравнение с параметром ч встречается в ЕГЭ и ГИА. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В наших учебниках по математике таких задач недостаточно.

Рассмотрим виды уравнений с параметрами , которые встречаются при сдаче ГИА.

Пример 12. При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?

Решение: Прежде всего обратим внимание на распространенную ошибку: считать исходное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда . Итак, если , то очевидно данное уравнение имеет единственное решение. Если же , то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант   принимает значение, равное нулю, при                                                   Ответ: или

 Пример 13. Решить уравнение .  

Решение: Если , то

              Если , то уравнение квадратное, найдем дискриминант.

то уравнение имеет корни.

              При

а) , если ,

б) если .

Ответ: при

              при .

Пример 14. При каких значениях параметра а уравнение   имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; корни различных знаков?

Решение: ;

       если , то

а) Согласно теореме Виета

б)   решений нет;

в) если , то

        ;

Ответ: а)   б) таких b не существует ; в) .

 Пример 15 .Найти все значения а, при которых уравнение   имеет только целые корни.

Решение. Пусть , тогда из уравнения следует, что  Поэтому  удовлетворяет условию задачи. Пусть , тогда уравнение равносильно уравнению . Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то  и  – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть , где  тогда , , причем  – целое число, то есть n может принимать значения из чисел  Проверка показывает, что только при  и  все корни исходного уравнения являются целыми числами.

Ответ:

 

2.В процессе обучения в старшей школе учащиеся при подготовке к ЕГЭ

решают  иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, уравнения.

Иррациональные уравнения

1)Определение: уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными.

2. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым равносильным ему уравнением с помощью преобразований

3. Если каждый корень данного уравнения является корнем другого уравнения, то второе уравнение является следствием первого.

Корни второго уравнения, не удовлетворяющие первому уравнению, называются посторонними корнями первого уравнения и не считаются решением этого уравнения.

К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.

4. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение.

Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

5. Если уравнение имеет вид f(х)h(х) = g(х)h(х), то деление обеих его частей на h(х),как правило, не допустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h(х) = 0, если они существуют.

Уравнение не считается решенным как  в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

6. Решение иррационального уравнения следует искать в ОДЗ неизвестного. Для этого следует напомнить, что корень четной степени из числа в той же степени равен модулю этого числа. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, причем этот корень равен неотрицательному числу, а из равенства    следует     х = а²ⁿ.

7. Основные методы решения иррациональных уравнений:

1). Уединение радикала и возведение в степень. Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению («рационализация уравнений»). Этому методу много внимания уделяется в любом школьном курсе, поэтому останавливаться на нем не следует.

2). Введение новой переменной (подстановка). Сущность метода описана ранее. Подробнее поясним на примерах.

3). Уравнения, содержащие кубические радикалы. Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы (а + b)³ = а³ + b³ + 3а b(а + b)

                                  (а - b)³ = а³ - b³ - 3а b(а - b).

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: