Классификация событий. Вероятность события, ее основные свойства. Геометрическая вероятность.

Классификация событий. Вероятность события, ее основные свойства. Геометрическая вероятность.

Опытом или испытанием наз-ся всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующие явление.

Возможный исход опыта наз-ют событием.

Случайным наз-ся событие, которое при выполнении совокупности условий может произойти или нет.

Достоверным наз-ся событие. Которое наступает обязательно при определенном комплексе условий.

Невозможным наз-ся событие, которое не наступает никогда при определенном комплексе условий.

Случайные событий, в которых опыты можно повторить неограниченное число раз наз-вя массовыми/статистическими.

ТВ – математическая наука, которая изучает закономерности статистических случайных событий.

Возможный исход эксперимента наз-ся элементарным событием, если:

· Исход равновозможный;

· Исход несовместный (наступление одного из исходов ведет к не наступлению всех остальных).

Множество элементарных событий наз-ся пространством элем-ых событий: Ω = {w1,…wn}

Любое подмножество из Ω наз-ся случайным событием.

Случайные события обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A , B , C ,…

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, наз-ся благоприятствующими.

Вероятностью случайного события А наз-ся отношение числа элем-ых исходов благоприятствующих этому событию к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором это событие может появиться: P ( A ) =  ,

Где m – благоприятствующие исходы, N – всевозможные исходы.

Свойства:

1) m = 0 => P (Ø) = 0;

2) m =N =>P (Ω) = 1;

3) 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область.

На плоскости задана область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, ф ее площадь S_G. В области G содержащая область q площади S_q. В область G на удачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G в вероятностью пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формулы и расположения. Пусть A – попадание брошенной точки в область q, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой: .

Действия над событиями. Закон сложения вероятностей

Случайные события определяют как некоторые множества, состоящие из элементарных, поэтому под операциями над событиями понимается операция над множествами.

В диаграммах Эйлера-Венна каждое событие рассм-ся как попадание случайно брошенной точки в некоторую часть плоскости.

 - Ω,  - А,  - В,  - С.

Сложение событий

 A + B = C, A  B = C

Суммой двух событий А и В наз-ся такое событие С, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий.

Умножение

А * В = С, А ∩ В = С

Произведением двух событий А и В наз-ся такое событие С, которое состоит в наступлении А и В одновременно.

Разность

 А – В = С

Разностью двух событий А и В наз-ся такое событие С, которое состоит в наступлении события А и не наступлении события В.

Несовместимость

 А * В = Ø

А и В наз-ся несовместимыми, если они не могут произойти одновременно.

5. Противоположность

Событие С = Ā наз-ся противоположным к событию Ā, если оно наступает всякий раз, когда не наступает событие А.

Частный случай

Событие А наз-ся частным случаем события В, если при наступлении события А наступает обязательно событие В.

Следствие: если А ⊂ В и В ⊂ А => А = В

 

Закон суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

 

3.Частота события и ее свойства. Статистическое определение вероятно­сти.

Относительная частота события, или частотой, наз-ся отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту опытов А ч\з W(А), тогда по определению: , где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими св-ми:

1) Частота случайного события есть число, заключенное м/у нулем и единицей: 0 < W (A) <1.

2) Частота достоверного события U равна единице: W (U) = 1.

3) Частота невозможного события V равна нулю: W (V) = 0.

4) Частота суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме частоты этих событий: W (А + В) = W (А) + W (В).

Статистическое определение вероятности. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большего числа испытаний.

В случае статистического определения вероятность обладает такими же свойствами, как и частота события.

 

4.Аксиоматическое определение вероятности. Следствия из аксиом веро­ятности. Теорема сложения вероятностей (док-ва)

Группы:

I. Аксиомы событий

· Если А₁,А₂,… конечные или счетные, явл-ся событиями, то их объединения тоже события;

· Если А явл-ся событием, то его дополнение до Ω, так же событие.

Следствие из аксиомы: если А₁, А₂ и т.д. явл-ся событием, то их пересечение так же событие.

Пусть Ω - некоторое множество,- класс подмножеств Р  Ω наз-ся алгеброй, если выполняются следующие условия:

1) Ω ⊂ F;

2) ⩝ А ⊂ F = А ⊂ F;

3) ⩝ (А, В) ⊂ F => (A ∪ B) ⊂ F.

Замечание 1: Из 1),2) => ⩝ (А, В) ⊂ F => (А ∩ В) ⊂ F.

Замечание 2: ⩝ (А₁, А₂,…А_n) ⊂ F => ( ⊂ F, ⩝ (А₁, А₂,…А_n) ⊂ F => ( ) ⊂ F.

Класс подмножеств F ∈ Ω наз-ся σ-алгеброй, если выполняются следующие условия:

1) Ω ⊂ F;

2) ⩝ А ⊂ F = А ⊂ F;

3) ⩝ (А₁, А₂,…А_n) ⊂ F => (  ⊂ F, ⩝ (А₁, А₂,…А_n) ⊂ F => ( ) ⊂ F.

(Ω, F) – измеряемое пространство.

II. Аксиомы вероятности

Пусть задано измеримое пространство, функция Р = Р (∙) определенная на алгебре или σ-алгебре, F наз-ся конечно-аддитивной вероятной мерой, если она удовлетворяет требованиям аксиом вероятности:

Ø А₁: аксиома не отрицательности

Каждому случайному событию А поставлено в соответствие некоторое постоянное действительное число Р (А) ≥ 0.

Ø А₂: аксиома нормировки

Вероятность достоверного события равна единице: Р Ω) = 1

Ø А₃: аксиома сложения

Для любых попарно несовместных событий из F вероятность их суммы = сумме вероятностей этих событий: ⩝ (А₁, А₂,…А_n) ⊂ F, A_i * A_j = Ø, i, j = ; i ≠ j => P (А₁ + А₂ + … + А_n) ⊂ P (А₁)+P ( А₂)+ … +P (А_n)

(Ω, F, P) – вероятное пространство.

Следствие1: Р (Ø) = 0

Следствие2: Р (А) + Р (Ā) = 1

Следствие3: А ⊂ В, Р (А) ≤ Р (В)

Следствие4: ⩝ А ⊂ F => 0 ≤ Р(А) ≤ 1

Теорема сложения: пусть задано вероятное пространство. Для любых событий А и В из алгебры F вероятность их суммы = сумме их вероятностей без вероятности их совместимого наступления: P (А+ В) = P (А)+P (В) - P (А _* В)

Доказательство:

 - Ω,  - А,  - В,

 - А* В,  - В * Ā.

P (А+ В) = P (А+ В Ā) =  А3 P (А) + Р (В Ā)

P (В) = P (А * В+ В Ā) =  А3 P (АВ) + Р (В Ā)

Р (А=В) – Р (В) = Р (А) – Р (АВ) А3 Р (А) + Р (В Ā)

 

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством

F(x) = Р(Х < х),

где Р(Х< х) - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. 

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке, есть середина этого отрезка и  соответственно равны:

18.Показательное распределение, функция распределения и числовые ха­рактеристики случайной величины, распределенной по показательному закону.

Показательным распределением н-ся распределение с плотностью вероятностей, определяемой функцией:

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством: F(x) = Р(Х < х),

где Р(Х< х) - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. 

Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий – последовательность событий, наступающих один за другим в случайные моменты.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно обратной величине параметра α:

МО и среднее квадратичное отклонение показательного распределения равны м/у собой.

 

19.Нормальное распределение. Математическое ожидание нормально рас­пределенной случайной величины.

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, н-ся распределение с плотностью вероятностей:

 > 0, где . Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру а:

Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру σ:

Теорема Чебышева

Если случайные величины Х1, Х2,…,Хп независимы, имеют мет. ожидания М(Xi) и дисперсии D(Xi), ограниченные одним и тем же числом С, то для любого числа  выполняется неравенство: ,

 

Классификация событий. Вероятность события, ее основные свойства. Геометрическая вероятность.

Опытом или испытанием наз-ся всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующие явление.

Возможный исход опыта наз-ют событием.

Случайным наз-ся событие, которое при выполнении совокупности условий может произойти или нет.

Достоверным наз-ся событие. Которое наступает обязательно при определенном комплексе условий.

Невозможным наз-ся событие, которое не наступает никогда при определенном комплексе условий.

Случайные событий, в которых опыты можно повторить неограниченное число раз наз-вя массовыми/статистическими.

ТВ – математическая наука, которая изучает закономерности статистических случайных событий.

Возможный исход эксперимента наз-ся элементарным событием, если:

· Исход равновозможный;

· Исход несовместный (наступление одного из исходов ведет к не наступлению всех остальных).

Множество элементарных событий наз-ся пространством элем-ых событий: Ω = {w1,…wn}

Любое подмножество из Ω наз-ся случайным событием.

Случайные события обозначаются заглавными буквами латинского алфавита A , B , C ,…

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, наз-ся благоприятствующими.

Вероятностью случайного события А наз-ся отношение числа элем-ых исходов благоприятствующих этому событию к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором это событие может появиться: P ( A ) =  ,

Где m – благоприятствующие исходы, N – всевозможные исходы.

Свойства:

1) m = 0 => P (Ø) = 0;

2) m =N =>P (Ω) = 1;

3) 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область.

На плоскости задана область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, ф ее площадь S_G. В области G содержащая область q площади S_q. В область G на удачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области G в вероятностью пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формулы и расположения. Пусть A – попадание брошенной точки в область q, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой: .

123456Следующая ⇒

Поделиться: