Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

При отыскании вероятности некоторого события А бывает удобным считать, что некоторое событие В уже осуществилось и находить вероятность А в новых условиях.

А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, если выполняются условия:

1. Хотя бы одно из этих событий наступает  = Ω;

2. События попарно несовместны, т.е. A_i * A_j = Ø, i, j = ; i ≠ j

Теорема: вероятность события В, которое может произойти только с одним из полной группы событий А₁, А₂,…, А_n равняется сумме произведений условных вероятностей этого события по каждому из событий А_i на вероятность самих А_i: Р (В) =  (В) * Р (А_i). В этом случае А_i наз-ся гипотезами.

Док-во: рассмотрим событие В: В = В * Ω =  = , тогда P (В) = ( ) =  А3 (В * А_i) =  (В) * Р (А_i)

Для оценки вероятности используется формула Байеса, которая относится к тем же условиям, что и формула полной вероятности.

Пусть событие В может наступить только с первым из событий А₁, А₂,…, А_n, которые образуют полную группу тогда: Р (А_i/В) = , Р (В) > 0, i, j =

Знаменатель Р (В) вычисляется по формуле полной вероятности.

Док-во:  =>

Формулу Байерса часто наз-ют формулой переоценки гипотез.

 

8.Случайная величина. Дискретная случайная величина, ее закон распре­деления и функция распределения.

Случайной величиной называю перемену величину, которая зависит от исходов испытания принимает значение, зависящие от случая.

Случайные величины принимают различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, наз-ся дискретной случайной величиной.

Законом распределения дискретной случайной величины наз-ся соответствие м/у значениями x₁,x₂,… этой величины и их вероятностями p₁, p₂,….

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически (т.е. с помощью формул).

Если дискретная случайная величина X принимает конечное множество значений x₁,x₂,…x_n соответственно с вероятностями p₁,p₂,…p_n,то ее закон распределения определяется по формулами: P (X = x_k) = p_k, (k = 1, 2,…n),  = 1

Функцией распределения случайной величины X наз-ся действительной переменной x, определяемая равенством F (x) = Р (X < x), где Р (X < x), - вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Случайная величина наз-ся непрерывной, если функция распределения F (x) = Р (X < x) является непрерывно дифференцируемой.

Функцией распределения F(х) случайной величины Х имеет следующие свойства:

1. Все значения функции распределения F (х) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функции распределения F (х) является неубывающей, т.е. если х₁< х₂, то F (х₁) ≤ F (x₂).

3. функции F (х) в точке х₀ непрерывна слева, т.е. , F (х₀ – 0) = F (х₀).

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то для ее функции распределения F (х): F (х) = 0, при х ≤ a F (х) = 1, при х ≥ b.

5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат бесконечному интервалу (-∞, +∞), то  = 0,  = 1

Функция распределения F (х) для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения x₁,x₂,…x_n с соответствующими вероятностями, имеет вид: F (х) = , где  означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше х.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: